Introduction

Trois robots, xam, arg et bax travaillent pour un constructeur automobile et sont dotés d'un module de synthèse vo­cale et d'un module de diagnostic. Lors de leur passage heb­do­ma­dai­re à l'atelier pour une révision, ils font les affirmations suivantes :

Quand un robot est défectueux, son diagnostic est toujours faux et quand il fonctionne, son diagnostic est toujours vrai. On sait qu'il y a au moins un robot défectueux et au moins un robot en bon état. Quel(s) robot(s) faut-il réparer ?

L'un des objectifs de ce chapitre est de mettre en place l'outillage nécessaire pour répondre à cette question (et beaucoup d'autres) et plus gé­né­ra­le­ment d'étudier des éléments de logique qui seront indispensables dans tout votre cursus en in­for­ma­ti­que.

Les mathématiques poursuivent quatre grands objectifs :

• La construction d'objets abstraits qui servent de modèles descriptifs pour la compréhension et l'étude de phénomènes physiques.
• La recherche de propriétés de ces objets abstraits qui permettent, d'une part de s'assurer de leur adéquation avec la réalité physique et d'autre part d'anticiper des résultats concrets. Les modèles sont alors des modèles prédictifs.
• La validation de ces propriétés par des démonstrations.
• La résolution de problèmes grâce aux propriétés des objets qui ont permis de les modéliser.

Le mathématicien pur contestera peut-être cette vision appliquée. On peut en effet étudier des objets mathématiques sans autre motivation que la pratique stimulante d'un jeu intellectuel et sans qu'ils aient le moindre rapport avec une quelconque réalité. Pourtant la très grande majorité des théories ma­thé­ma­ti­ques a pour origine des problèmes bien réels engendrant de nouveaux ques­tion­ne­ments qui parfois s'épanouissent au sein de théories autonomes. La dichotomie entre ma­thé­ma­ti­ques pures et appliquées n'a donc pas de raison d'être et si distinction il y a, les deux vivent depuis long­temps en par­fai­te symbiose.

Selon la théorie de l'évolution de Lamarck, la fonction créant l'organe, le langage ma­thé­ma­ti­que s'est pro­gres­si­ve­ment structuré pour que cette science puisse se développer suivant ces quatre axes. Les ma­thé­ma­ti­ques s'imposent naturellement en informatique dès que l'on cher­che à analyser un prob­lè­me, à élaborer des méthodes de résolution et à valider les ré­sul­tats obtenus. Le langage ma­thé­ma­ti­que est constitué de plusieurs langages formels imbriqués utilisant des signes et des termes qui leur sont propres et contrairement aux lan­ga­ges informatiques, la langue naturelle reste in­dis­pen­sable pour animer la partition. Ce métalangage est totalement formaté par et pour le rai­son­ne­ment.

Les règles de construction des mots, des phrases et plus généralement des langues naturelles qui oc­cu­pent les grammairiens ont leur pendant en ma­thé­ma­ti­ques et en informatique. Les ma­thé­ma­ti­ciens se sont intéressés à la théorie de la démonstration dès le début du xx^ème siècle et les in­for­ma­ti­ciens à la théorie des lan­ga­ges dans les années 1950. Les questions sur la nature du calcul ont lar­ge­ment contribué aux interactions entre les deux disciplines dans le cadre de la théorie de la cal­cu­la­bi­li­té et l'isomorphisme de Curry-Howard établit des liens formels entre une dé­mons­tra­tion dans un système logique et un programme dans un modèle de calcul, autrement dit

Ce ré­sul­tat ne sera pro­ba­ble­ment pas de nature à rassurer l'étudiant qui espérait trouver une échap­pa­toi­re à l'étude des mathématiques, mais il met en évidence les liens profonds qui existent entre ces deux disciplines.

La principale différence entre une langue naturelle et le métalangage ma­thé­ma­ti­que concerne les am­bi­guï­tés et la jus­tes­se des propos. Les ambiguïtés sont inhérentes aux langues naturelles et sont d'ail­leurs largement exploitées dans la rhétorique (allusions, sous-entendus, jeux de mots, sophismes, etc.) alors qu'elles sont bannies du langage ma­thé­ma­ti­que et des lan­ga­ges de programmation. Il est in­dis­pen­sa­ble de les lever dès qu'un énoncé peut être in­ter­pré­té de différentes façons :

C'est ce qui explique la nature particulière des textes ma­thé­ma­ti­ques qui emploient des tour­nu­res de phrases rarement utilisées dans le langage commun, comme si et seulement si, deux-à-deux dis­joints, un et un seul, non-vide, etc. La logique naturelle n'est pas tout à fait celle de la lo­gi­que clas­si­que des ma­thé­ma­tiques, il existe d'ailleurs des logiques ma­thé­ma­ti­ques (dites non-clas­si­ques par opposition) dont certaines ont précisément pour objet d'être plus proches de celle que nous pra­ti­quons au quo­ti­dien. Là aussi, il est nécessaire de clarifier certaines situations.

Pour baptiser les objets que l'informaticien/ma­thé­ma­ti­cien construit, les mots sont choisis avec beau­coup de précaution et sont censés être en adéquation avec l'acception qu'ils ont com­mu­né­ment. Pourtant certaines distorsions existent parfois entre le sens que nous donnons à un mot et celui qu'il a en mathématiques, ce qui peut être une source d'erreurs ou de con­fu­sion. D'autre part, certains mots désignent des objets mathématiques différents selon le contexte où ils sont emp­loyés. Il faut en être conscient et comprendre le rôle réellement capital des définitions qui précisent leur sens dans un en­vi­ron­ne­ment par­ti­cu­lier. Ceci explique la structuration litanique des textes ma­thé­ma­ti­ques en al­ter­nan­ce de définitions et de théorèmes.

Pour commencer ce cours, nous allons étudier le socle logique des mathématiques et de l'in­for­ma­ti­que. Pour illustrer notre propos, nous aurons souvent besoin d'exemples qui intègrent des objets ou des notions que nous n'aurons pas encore définies formellement mais qui sont bien connues du lecteur, ou qui sont censées l'être. Ce n'est pas contraire à ce qui se fait dans tout apprentissage, la pratique de la conduite d'un véhicule est un atout pour en comprendre le fonc­tion­ne­ment. Dans la suite, si certains objets mathématiques sont construits à l'aide d'outils qui auraient dû être définis en aval, c'est pour ne pas compliquer inutilement l'exposé, cela sous-entend que ces outils ne sont pas eux-mêmes définis à l'aide de ces objets, ce qui créerait alors un cercle vicieux.

Calcul pro­po­si­tion­nel

Nécessité d'un cadre formel

L'étymologie du mot logique dévoile les mots raison et langage. La logique est à la base de l'ar­ti­cu­la­tion du discours ma­thé­ma­ti­que et du fonc­tion­ne­ment ato­mi­que d'un ordinateur, il n'y a rien de sur­pre­nant à ce qu'elle se soit épanouie sur le for­mi­da­ble terrain de jeu qu'est l'in­for­ma­ti­que où elle est om­ni­pré­sen­te. Les combinaisons de pro­po­si­tions à l'aide de con­nec­teurs logiques constituent la première strate du raisonnement mathématique et de la construction des circuits électroniques. Il s'agit d'un langage à part entière, c'est le langage du cal­cul pro­po­si­tion­nel dont nous allons fixer les règles de composition. Nous aborderons d'abord les aspects mathématiques, le chapitre Calcul booléen en don­ne­ra une vision plus proche de l'informatique et de l'électronique avec l'algèbre de Boole, les fonctions boo­lé­en­nes et les circuits logiques.

De manière analogue aux langues naturelles, un énoncé ma­thé­ma­ti­que ou un programme in­for­ma­ti­que doit respecter :

• Des règles lexicales. Elles régissent l'usage des signes et symboles (l'orthographe) pour constituer des lexèmes ou unités lexicales (nombres, fonctions, identifiants, variables, opérateurs, etc.) ;
• Des règles syntaxiques. Elles régissent la composition des phrases (la grammaire) à partir des lexèmes (expressions arithmétiques, logiques, structures de contrôle, etc.) ;
• Des règles sémantiques. Tout énoncé doit être interprété, avoir une signification (un sens).

Pour commencer, nous allons mettre en évidence les problèmes liés à la sémantique de la logique en langue naturelle et qui vont nous amener à la reconsidérer dans le cadre du langage du calcul pro­po­si­tion­nel.

Il est important de noter dans cette définition informelle qu'il est possible d'attribuer une valeur de vérité à une pro­po­si­tion­. Une pro­po­si­tion n'a pas besoin d'une valeur de vérité pour être une pro­po­si­tion, d'autre part si valeur de vérité il y a, elle n'est pas con­sub­stan­tiel­le à la pro­po­si­tion. Certains auteurs par­lent d'assertion pour une pro­po­si­tion, mais nous préférons ici réserver ce terme pour désigner une pro­po­si­tion­ énoncée comme vraie. Une assertion est donc une affirmation, ce qui rend son usage conforme à l'ac­cep­tion de ce terme en français.

À titre d'exemples voici quelques énoncés dont certains sont des pro­po­si­tion­s, d'autres non pour cette définition :

1. Il pleut,
2. Pourquoi le poulet a-t-il traversé la route ?
3. Ce chapitre est trop long à lire,
4. \(\def\then{{\;\Rightarrow\;}}\def\iff{{\;\Leftrightarrow\;}}1+2=3\),
5. Ce cours sera en ligne le 24 février 3016,
6. L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable,
7. Si les poules avaient des dents, alors j'irais sur la lune,
8. À la montagne, on est plus vite en haut qu'à pied.
9. Je mens,
10. \(0\,(\,4=-1\),
11. Cette phrase n'a pas de valeur de vérité,
12. \(1+\sqrt{x} > 4\)
13. Cette phrase n'est pas une phrase.

L'énoncé #2 est une interrogation, l'énoncé #8 est absurde, l'énoncé #10 n'est pas correct syn­ta­xi­que­ment. On ne peut pas attribuer de valeur de vérité à l'énoncé #12 sans connaître la valeur de la variable numérique \(x\), il ne s'agit pas stricto sensu d'une pro­po­si­tion­, on utilise dans ce cas le terme de prédicat ou d'énoncé contingent, qui est le centre d'étude du prochain chapitre.

Tous les autres énoncés sont des pro­po­si­tion­s, mais il n'est pas toujours possible de leur affecter une valeur de vérité sans autres considérations. En effet, la valeur de vérité de la pro­po­si­tion­ #1 dépend implicitement du contexte, le lieu et le moment, tout comme celle de la pro­po­si­tion­ #3 qui dépend du lecteur. Il est donc délicat de les considérer comme des pro­po­si­tions mathématiques stricto sensu. La pro­po­si­tion­ #4 est vraie pour peu que l'on admette les règles de représentation des nombres et que l'on connaisse les rudiments du calcul. Établir une valeur de vérité de la pro­po­si­tion­ #5 est illusoire (ce qui ruine au passage mes espoirs de postérité). La pro­po­si­tion­ #6 demande une certaine connaissance de l'arithmétique pour établir qu'elle est vraie. La pro­po­si­tion­ #7 est vraie du point de vue du logicien, mais peut sembler absurde, voire fausse pour le lecteur lambda. Les pro­po­si­tion­s #9 et #11 sont des paradoxes logiques, elles ne peuvent être vraies ou fausses sans créer une contradiction. Les paradoxes logiques émergent parfois quand il y a autoréférence, c'est-à-dire quand un énoncé fait référence à lui-même*(*) Par exemple la pro­po­si­tion Je suis un men­teur ne peut être vraie ou fausse sans abou­tir à une con­tra­dic­tion. mais cela n'a rien de systématique, par exemple la pro­po­si­tion­ #13 est fausse.

Il apparaît que l'interprétation d'une pro­po­si­tion­ en langue naturelle n'est pas un exercice trivial, loin s'en faut. Toujours dans ce cadre, nous allons voir qu'il est éga­lement délicat d'analyser les énon­cés contenant des con­nec­teurs logiques pourtant omniprésents dans nos langues naturelles. Con­si­dé­rons les phrases suivantes :

1. Le cassis ou le poivre sont des baies.
2. Je travaille ou je me repose.
3. Apprenez votre cours ou vous aurez une mauvaise note.
4. Alice et Bob sont mariés.
5. Les étudiants dont la note en maths est supérieure à 7 et inférieure à 12.
6. Je suis déçu du résultat du contrôle continu et je jette toutes les copies.
7. Le facteur dépose le courrier donc le chien aboie.
8. Il pleut et je dois sortir les poubelles.

Certains con­nec­teurs peuvent avoir une signification différente selon le contexte. Le con­nec­teur ou de la première phrase est inclusif, le second est exclusif et le troisième exprime une conséquence. La quatrième phrase laisse entendre qu'Alice est mariée avec Bob, mais ce n'est pas une cer­ti­tu­de, il est donc difficile de lui attribuer une valeur de vérité. Le con­nec­teur et de l'énoncé #5 code une énu­mé­ra­tion et pas une simple conjonction. De même, la conjonction de l'énoncé #6 induit une con­sé­quen­ce et celle de l'énoncé #8 induit une obligation.

En général les con­nec­teurs logiques des langues n­atu­rel­les ne sont pas vé­ri­fonc­tion­nels. Sup­posons par exemple que la pro­po­si­tion Le facteur dépose le courrier et la pro­po­si­tion le chien aboie soient toutes les deux vraies. Si la pro­po­si­tion­ Le facteur dépose le courrier donc le chien aboie est très certainement vraie, la pro­po­si­tion Le chien aboie donc le facteur dépose le courrier est probablement fausse. Ainsi, en logique na­tu­rel­le, d'autres éléments que la valeur de vérité des pro­po­si­tions connectées interviennent dans la valeur de vérité de leur composition. Dans le langage mathématique, les con­nec­teurs doivent être vérifonctionnels. Cette exigence é­lé­men­tai­re peut créer une césure entre la logique na­tu­rel­le et la logique mathématique.

En anticipant un peu sur l'étude des con­nec­teurs logiques, la valeur de vérité d'une pro­po­si­tion contenant le con­nec­teur logique d'imp­li­ca­tion peut suprendre, ainsi la pro­po­si­tion :

est vraie, alors qu'il n'y a aucun lien de cause à effet entre les deux pro­po­si­tions con­nec­tées qui sont toutes les deux vraies. Pire, la proposition

Nous avons déjà constaté que la valeur de vérité d'une pro­po­si­tion n'est pas con­sub­stan­tiel­le à sa struc­tu­re et nous venons de mettre en évidence que les con­nec­teurs logiques dans les énoncés en langue naturelle peuvent être difficiles à interpréter ou impropres à un usage mathématique. La manière la plus efficace de se débarrasser de ces problèmes consiste à éliminer dans un premier temps toute interprétation dans une pro­po­si­tion­, elle devient une construction purement syntaxique. C'est une façon bien commode de procéder, on limite le champ d'investigation de la logique à des entités simples en les détachant de la réalité. C'est ce que nous faisons en permanance en ma­thé­ma­ti­ques. Même pour une simple expression comme

on ne se préoccupe ni de sa signification, ni de savoir si \(196\) représente une quantité, le poids d'une table ou la hauteur d'un immeuble, seule l'application des règles sur l'expression abstraite importe. Le distinguo entre la syntaxe et la sé­man­ti­que de l'expression \(196\) est peut-être difficile à percevoir pour le lecteur car la confusion a été volontairement en­tre­nue par les règles de lecture d'un nombre (ici cent-quatre-vingt-seize) où le chiffre le plus significatif est intégré avant les autres afin d'assurer la perception rapide d'une mesure au lieu d'égrener les chif­fres un, neuf, six. On encapsule ainsi forme et fond. C'est la raison exacte de l'apprentissage de la lecture des mots et des nombres, l'objectif est précisément de ne plus avoir à les déchiffrer (toujours cette analogie avec les nombres !) pour en saisir le sens. En remplaçant l'écriture des nombres en base 10 par l'écriture en chiffres ro­mains dans l'expression \((\ref{expr:decimal})\), on fait res­surgir la séparation entre syn­taxe et sémantique :

La lecture des 5 chiffres romains CXCVI n'évoque pas mentalement la quantité que nous per­ce­vons sans peine sous la forme décimale \(196\), et pourtant les deux représentations codent exactement le mê­me nombre.

La conclusion de cette section est qu'une pro­po­si­tion logique n'est pas aisée à ap­pré­hen­der dans le cadre de la langue naturelle.

Syntaxe du calcul pro­po­si­tion­nel

Concentrons-nous pour le moment sur les aspects lexicaux et syn­ta­xi­ques du langage, nous re­vien­drons sur l'aspect sémantique un peu plus loin. Il faut tout d'abord disposer d'un lexique de sym­bo­les — un alphabet — ces symboles sont répartis en quatre catégories :

1. Les constantes \(\top\) et \({\bot}\).
2. Les variables pro­po­si­tion­nelles ou pro­po­si­tion­s atomiques que l'on décrit généralement à l'aide de lettres de l'alphabet latin. Elles sont en nombre fini et ne peuvent prendre que les deux valeurs \(\top\) ou \({\bot}\).
3. Les parenthèses \((\) et \()\).
4. Les con­nec­teurs logiques \(\neg\), \(\vee\), \(\wedge\), \(\Rightarrow\), \(\Leftrightarrow\), \(\oplus\), \(\uparrow\), \(\downarrow\).

Voilà pour le lexique, passons à la syntaxe. À partir des variables pro­po­si­tion­nelles, on peut créer de nouvelles ex­pres­sions grâce aux con­nec­teurs logiques qui les mettent en relation dans une formule (nous définirons précisément ce terme plus bas). L'arité d'un con­nec­teur logique est le nombre \(q\) de pro­po­si­tion­s qu'il permet de connecter, on parle aussi de con­nec­teur \(q\)-aire (unaire pour \(q=1\), binaire pour \(q=2\), ternaire pour \(q=3\), etc.).

À l'instar de l'expression arithmétique \(2(x+1)+y\) contenant deux variables \(x\) et \(y\), la valeur d'une formule est fonction^#(^#) dépend des valeurs des variables pro­po­si­tion­nel­les qu'elle con­tient. Les variables pro­po­si­tion­nelles ne pouvant prendre qu'un nombre fini de valeurs (\(\top\) ou \({\bot}\)), un con­nec­teur logique est en­tiè­re­ment caractérisé par les différentes valeurs possibles de la formule selon les valeurs des variables qu'il connecte. Notons que l'on ne peut pas procéder de cette manière pour caractériser l'addition dans \(\def\Z{{\Bbb Z}}\Z\), l'ensemble des valeurs possibles des variables étant infini.

Il n'est pas nécessaire d'étudier l'analyse combinatoire, pour vérifier qu'il y a \(2^q\) com­bi­nai­sons possibles pour les valeurs des \(q\) variables pro­po­si­tion­nel­les d'un con­nec­teur \(q\)-aire, et donc \(2^{2^q}\) façons différentes de définir un con­nec­teur \(q\)-aire. En effet pour chacune des \(2^q\) valeurs possibles du \(q\)-uplet constitué des \(q\) variables, la formule peut pren­dre \(2\) valeurs distinctes \(\top\) ou \({\bot}\). La première table contient les 4 con­nec­teurs unaires possibles \(\star_i\), la suivante les 16 con­nec­teurs binaires possibles \(\diamond_j\) :

Les con­nec­teurs unaires \(\star_1\) et \(\star_4\) sont constants et la formule \(\star_2\; P\) prend exactement les mêmes va­leurs que \(P\), le con­nec­teur \(\star_2\) est donc l'identité. Le seul con­nec­teur qui ne soit pas trivial est donc \(\star_3\), c'est la négation logique.

Les deux con­nec­teurs binaires \(\diamond_{1}\) et \(\diamond_{16}\) sont constants, les con­nec­teurs \(\diamond_{4}\) et \(\diamond_{13}\) ne dépendent que de la valeur du premier opérande \(P\) et les con­nec­teurs \(\diamond_{6}\) et \(\diamond_{11}\) ne dépendent que de la valeur du deu­xième opérande \(Q\). Ces \(6\) opérateurs ont donc peu d'intérêt, mais il en reste malgré tout 10. Sept d'entre eux sont baptisés car ils sont com­mu­né­ment utilisés en Ma­thé­ma­ti­ques et/ou en Informatique et/ou en Électronique. On a fi­na­le­ment huit con­nec­teurs usuels et selon le con­tex­te ou la discipline, on en utilise tout ou partie :

Quand un con­nec­teur est placé avant ses opérandes, on dit qu'il est en notation préfixe, c'est le cas de l'opérateur unaire de négation \(\neg\). Quand un con­nec­teur est placé après ses opé­ran­des, on dit qu'il est en notation postfixe. Par exemple la transposée d'une matrice \(A\) est gé­né­ra­le­ment écrite sous forme postfixe \(A^t\) bien que l'écriture préfixe \({}^t\!A\) soit également très commune. Quand l'opérateur est binaire et qu'il est placé entre les deux opérandes, on dit qu'il est en notation infixe et c'est généralement cette notation qui est employée en logique pro­po­si­tion­nel­le, on écrit donc plus vo­lon­tiers \(P\Rightarrow Q\) que \(P\ Q\ \Rightarrow\), bien que la notation post­fixe soit très utilisée en informatique, elle permet en effet de se passer des pa­ren­thè­ses et d'évaluer très facilement une expression (ce point sera étudié en cours d'algorithmique de deuxième année).

Sauf cas particuliers, il existe plusieurs séquences de règles possibles pour établir une formule. Une telle séquence de règles s'appelle une dérivation de la formule. La re­pré­sen­ta­tion d'une formule à l'aide d'un arbre de dérivation permet de mieux comprendre sa structure. C'est un arbre schématisé dont le principe de construction est simple et inductif. Une formule avec un con­nec­teur \(q\)-aire est représentée à l'aide de \(q+1\) nœuds dans cet arbre, le con­nec­teur est placé à la racine de l'arbre qui est reliée à chacun des \(q\) opérandes dans l'ordre de leur apparition dans la formule.

Les deux arbres suivants représentent res­pec­ti­ve­ment une formule avec un con­nec­teur unaire et son opérande et une formule avec un con­nec­teur binaire et ses deux opérandes (les arbres sont dits unai­re et binaire) :

          

Quand les opérandes d'un con­nec­teur sont eux-mêmes des formules, on remplace chaque formule par l'arbre correspondant inductivement. Ainsi la formule \(((P\Rightarrow Q) \wedge (P\vee \neg R))\) a pour arbre de dé­ri­va­tion l'arbre ci-dessous :

Une formule peut admettre plusieurs dérivations, mais un seul arbre de dérivation ce qui justifie l'emp­loi du singulier défini. Comme pour les opérations arithmétiques, on décide de certaines prio­ri­tés pour simp­li­fier les écri­tu­res. La négation est prioritaire sur la conjonction qui est prioritaire sur la disjonction, elle-mê­me prioritaire sur l'implication. Néanmoins, il est hautement pré­fé­ra­ble d'écrire toutes les pa­ren­thè­ses, l'expérience prouve qu'elles facilitent beaucoup plus sou­vent la lecture qu'elles ne la com­pli­quent. On simplifie malgré tout les formules en omettant les parenthèses aux extrémités, la formule simplifiée de \((\ref{eq:ex1})\) s'écrit \((P\Rightarrow Q) \wedge (P\vee \neg R).\)

Un étudiant s'étonnait de ne pas avoir eu le point attribué à une ques­tion dans laquelle il fallait représenter l'arbre de dérivation de la formule \(\neg P\Rightarrow Q\) (à droite ci-dessous) qu'il avait représenté comme à gauche ci-dessous en arguant qu'ils étaient égaux :

au lieu de

Effectivement, dans ces deux graphes, les relations entre éléments matérialisées par des arcs sont strictement égales (vous pourrez en faire la preuve à titre d'exercice en définissant l'ensemble sur lequel sont définis les graphes de ces deux relations une fois cette partie du cours étudiée)^*(*) ils le sont éga­le­ment du point de vue to­po­lo­gi­que.. Néanmoins, il s'agit ici d'une représentation avec une sémantique, elle met en particulier en évidence la position des opérandes gauche et droit de part et d'autre d'un opérateur binaire comme l'implication \(\Rightarrow\). Autrement dit, la représentation à gauche ne fournit pas la même information que celle de droite compte tenu des conventions de représentation des arbres de dérivation. Je doute échapper à une contravention pour conduite à contresens en prétextant que les deux pan­neaux à sens unique ⬆ et ⬇ sont égaux…

Sémantique du calcul pro­po­si­tion­nel

Revenons à la sémantique. Il s'agit d'attribuer un sens à une formule, on veut l'interpréter. Seules deux valeurs logiques sont possibles, vrai ou faux, c'est la valeur de vérité de la formule. Une in­ter­pré­ta­tion est donc une fonction de l'en­semb­le des formules \(\mathscr F\) dans l'ensemble*(*) Les termes ensemble et fonction ne sont pas dé­fi­nis for­mel­le­ment à ce stade mais la vision naïve est suf­fi­san­te ici. \(\{vrai,\;faux\}.\)

Les règles qui permettent d'attribuer un sens aux formules sont mises en cohérence avec les règles de construction syntaxique. La fonction d'in­ter­pré­ta­tion \(I\) est définie en fixant arbi­trai­re­ment une valeur de vérité \(vrai\) ou \(faux\) à chacune des variables pro­po­si­tion­nelles. C'est la seule marge de manœuvre dont on dispose si l'on décide que les constantes \(\top\) et \(\bot\) (objets syntaxiques) sont in­ter­pré­tées res­pec­ti­ve­ment comme les valeurs logiques \(vrai\) et \(faux\) (objets sé­man­ti­ques), c'est-à-dire \(I(\top):=vrai\) et \(I(\bot):=faux\) et que la fonc­tion d'interprétation d'une formule se conforme aux tables des con­nec­teurs logiques.

À présent, une formule de la logique pro­po­si­tion­nelle est bien une pro­po­si­tion au sens de la première définition. Nous pouvons donc employer le terme pro­po­si­tion pour désigner une formule de la logique pro­po­si­tion­nelle.

En remplaçant \(\top\) par \(vrai\) et \(\bot\) par faux dans les tables des con­nec­teurs logiques, on obtient leurs tables de vérité. Nous avons regroupé les 7 tables de vérité des con­nec­teurs logiques binaires dans un unique tableau et avons résumé les valeurs de vérité vrai et faux par \(V\) et \(F\) respectivement pour plus de lisibilité.

\(P\) \(\neg P\) F V V F

\(P\) \(Q\) \(\ P\wedge Q\ \) \(\ P\vee Q\ \) \(\ P\Rightarrow Q\ \) \(\ P\Leftrightarrow Q\ \) \(\ P\oplus Q\ \) \(\ P\uparrow Q\ \) \(\ P\downarrow Q\ \) F F F F V V F V V F V F V V F V V F V F F V F F V V F V V V V V V F F F

La table de vérité d'une formule contient ses valeurs de vérité pour l'intégralité des combinaisons possibles des variables pro­po­si­tion­nel­les qu'elle contient. La table de vérité de la formule \((\ref{eq:ex1})\) est pré­sen­tée ci-dessous et pour faciliter la compréhension, les deux sous-formules de la conjonction sont pré­sen­tes également :

Comment construit-on effectivement une table de vérité ? L'algorithme est simple, on se donne tout d'abord une in­ter­pré­ta­tion \(\color{#AA88FF}{I}\) pour remplacer chaque variable pro­po­si­tion­nelle \(P\) — donc chaque feuille de l'arbre de dérivation (sur fond gris dans les exemples) — par sa valeur de vérité \(I(P)\), puis on ap­pli­que in­duc­ti­ve­ment les deux opérations sui­vantes sur l'arbre de dérivation :

1. on remplace chaque sous-arbre constitué d'un con­nec­teur unaire de négation et de sa feuille par un seul nœud contenant la négation de la valeur contenue dans la feuille,
2. on remplace chaque sous-arbre constitué d'un con­nec­teur binaire et de ses deux feuilles par un seul nœud contenant la valeur de la sous-formule correspondante,

Évaluation de l'arbre de dérivation de la formule \((P\Rightarrow Q)\wedge( P\vee\neg R)\) pour l'interprétation \(I\).

On montre aisément que pour toute assertion \(P\), on a \begin{equation}\label{eq:neg} \neg(\neg P)\ \equiv\ P \end{equation} et que \(P\) et \(Q\) peuvent être échangés sans rien changer aux tables de vérités de \(P \vee Q\) et \(P\wedge Q\), au­tre­ment dit que ces deux con­nec­teurs sont com­mu­ta­tifs. \begin{align}\label{eq:comou} P \vee Q\ &\equiv\ Q\vee P\\ P \wedge Q\ &\equiv Q\wedge P\label{eq:comet} \end{align}

D'autre part, on a les deux équivalences logiques suivantes, qui sont souvent utilisées en ma­thé­ma­ti­ques pour définir les con­nec­teurs d'implication et d'équivalence à partir des trois con­nec­teurs de né­ga­tion, de conjonction et de disjonction : \begin{align}\label{eq:implique} P\Rightarrow Q&\ \equiv\ \neg{P}\vee Q\\ P\Leftrightarrow Q&\ \equiv\ (P\Rightarrow Q) \wedge (Q\Rightarrow P)\label{eq:eq} \end{align}

Nous verrons plus bas que le con­nec­teur d'implication \(\Rightarrow\) n'est pas commutatif, alors que la com­mu­ta­ti­vi­té du con­nec­teur \(\wedge\) entraîne celle du con­nec­teur \(\Leftrightarrow\) d'équivalence.

Pour démontrer une équi­va­len­ce, d'après la définition \((\ref{eq:eq})\) il faut démontrer les deux imp­li­ca­tions \(P\Rightarrow Q\) et \(Q\Rightarrow P\), autrement dit que \(P\) est une condition nécessaire et suffisante de \(Q\) (ou réciproquement), ce que l'on énonce souvent en disant \(P\) si et seulement si \(Q\).

Il est aisé de prouver les deux équivalences logiques qui suivent en construisant les tables de vérités des assertions qui les constituent. Ces équivalences sont extrêmement utiles, ce sont les lois de De Morgan.*(*) Augustus De Morgan était un ma­thé­ma­ti­cien bri­tan­ni­que qui vé­cut au 19^ème siè­cle.

Il ne faut pas écrire le symbole \(\Rightarrow\) pour signifier le mot donc. On peut légitimement se ques­tion­ner sur le choix du mot implication pour qualifier ce con­nec­teur logique, puisqu'il a sans conteste un sens déductif en français. L'explication est fournie par la règle du Modus Ponens ci-dessous qui décrit le rôle de la pro­po­si­tion \(P\Rightarrow Q\) dans le processus déductif et qui donne un sens précis aux mots donc ou alors dans le discours ma­thé­ma­ti­que. La déduction logique est symbolisée par le signe \(\vdash\) (ou \(\therefore\)) séparant les prémisses \(P\) et \(P\Rightarrow Q\) (ou hypothèses), du conséquent \(Q\) (ou conclusion).

Ces notations sont largement utilisées dans l'étude des systèmes de décision, des logiques non clas­si­ques, en théorie de la dé­mons­tra­tion, en intelligence artificielle, etc. L'équivalence logique suivante entre deux implications est également très utilisée dans les dé­mons­tra­tions  via la règle du Modus Tollens.

La pro­po­si­tion­ \(Q\Rightarrow P\) est appelée implication réciproque de l'implication \(P\Rightarrow Q\). Ce n'est pas sa né­ga­tion, en effet

La pro­po­si­tion \(P\wedge\neg P\) est appelée contradiction ou paradoxe logique. Certaines pro­po­si­tion­s peuvent être toujours vraies (resp. fausses) quelles que soient les interprétations des variables pro­po­si­tion­nel­les qui les composent, on les appelle tautologies (resp. antilogies). Les trois tautologies suivantes sont très utilisées pour construire des démonstrations mathématiques :

• La non contradiction : \(\neg(P\wedge \neg P)\)
• Le tiers exclu : \(P\vee \neg P,\)
• L'analyse de cas : \((P\then Q)\wedge(\neg P\then Q)\iff Q,\)

La première exprime que l'on ne peut pas avoir si­mul­ta­né­ment une pro­po­si­tion­ et son contraire, on ne veut donc pas de paradoxes. Elle permet d'élaborer une stratégie de démonstration dite dé­mons­tra­tion par l'absurde : plutôt que de montrer qu'une pro­po­si­tion \(P\) est vraie, on suppose qu'elle est fausse et on essaie de prouver la contradiction \(P\wedge \neg P\) pour invalider l'hypothèse et conclure que \(P\) est vraie grâce au tiers exclu. Ainsi un inspecteur qui suppose qu'un cambrioleur est passé par une fenêtre et ne trouve aucune trace d'effraction sur la fenêtre en conclura que son hypothèse était absurde et que le cambrioleur est entré par un autre moyen.

La seconde exprime qu'une pro­po­si­tion­ ou sa négation doit être vraie, autrement dit que l'on exclut une troisième possibilité*.(*) La logique in­tui­tion­nis­te rejette le tiers exc­lus et par conséquent le raisonnement par l'ab­sur­de. Notons que la non contradiction et le tiers exclu sont la négation l'une de l'autre d'après les lois de De Morgan \((\ref{eq:morganou})\) et \((\ref{eq:morganet})\). La troisième exprime le fait que c'est l'interprétation de \(Q\) qui fixe la valeur de vérité de la conjonction, quelle que soit l'interprétation de \(P\).

On peut se demander pourquoi nous n'avons pas étudié d'autres opérateurs que les opé­ra­teurs unaires et bi­nai­res ? Le théorème suivant et son corollaire four­nis­sent une jus­ti­fi­ca­tion.

Nous verrons au chapitre sur le calcul booléen que l'on peut obtenir un résultat plus fort encore et que l'on peut se contenter d'un unique opérateur binaire. Mais le mathématicien savait déjà que l'on pouvait se contenter des trois con­nec­teurs \(\neg\), \(\wedge\) et \(\vee\) pour tout exprimer.

Propriétés des con­nec­teurs logiques

1. Commutativité de \(\wedge\) et \(\vee\). \begin{align*} (P\wedge Q)&\equiv (Q\wedge P) & (P\vee Q)&\equiv (Q\vee P). \end{align*}
2. Associativité de \(\wedge\) et \(\vee\). \begin{align*} ((P\wedge Q)\wedge R)&\equiv (P\wedge(Q\wedge R)), & ((P\vee Q)\vee R)&\equiv (P\vee(Q\vee R)). \end{align*}
3. Idempotence de \(\wedge\) et \(\vee\). \begin{align*} (P\wedge P)&\equiv P, & (P\vee P)&\equiv P. \end{align*}
4. Lois de De Morgan. \begin{align*} \neg(P\wedge Q)&\equiv (\neg P\vee\neg Q) & \neg(P\vee Q)&\equiv (\neg P\wedge\neg Q) \end{align*}
5. Distributivité de \(\wedge\) sur \(\vee\) et de \(\vee\) sur \(\wedge\). \begin{align*} (P\wedge(Q\vee R))&\equiv ((P\wedge Q)\vee (P\wedge R)) & (P\vee(Q\wedge R))&\equiv ((P\vee Q)\wedge (P\vee R)) \end{align*}
6. Absorption. \begin{align*} (P\wedge(P\vee Q))&\equiv P & (P\vee(P\wedge Q))&\equiv P \end{align*}
7. La conjonction et la disjonction avec les constantes \(V\) et \(F\). \begin{align*} (P\vee V)&\equiv V & (P\wedge V)&\equiv P & (P\vee F)&\equiv P & (P\wedge F)&\equiv F \end{align*}
8. Transitivité de l'implication. \begin{align*} ((P\then Q)\wedge(Q\then R))\then(P\then R). \end{align*}

Formalisation du raisonnement

Les robots

Nous pouvons à présent étudier le problème de robots que nous avons présenté en introduction. On rappelle qu'un robot en bon état (resp. défectueux), fait toujours un bon (resp. mauvais) diagnostic et que les trois robots font les affirmations suivantes :

On introduit les variables pro­po­si­tion­nelles \(\color{#FF0}X\), \(\color{#F44}B\) et \(\color{#88F}A\) définies par

• \(\color{#FF0}X:\) xam est en bon état (i.e. il fait un bon diagnostic),
• \(\color{#F44}A:\) arg est en bon état (i.e. il fait un bon diagnostic),
• \(\color{#88F}B:\) bax est en bon état (i.e. il fait un bon diagnostic).

Si l'on observe la table de vérité du con­nec­teur d'équivalence \(\iff\), on note que \(P\iff Q\) est vrai si et seulement si les deux variables \(P\) et \(Q\) ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire si les deux sont vraies ou si les deux sont fausses (on en déduit au passage que \((P\iff Q)\equiv(P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge\neg Q)\)). On formalise alors les pro­po­si­tions de xam, arg et bax respectivement par :

1. \({\color{#FF0}P_X}:\) \((A\iff B)\),
2. \({\color{#F44}P_A}:\) \(\neg B\),
3. \({\color{#88F}P_B}:\) \((X\wedge A)\).

Il faut également traduire l'hypothèse qui dit qu'un robot en bon état fait toujours un bon diagnostic et qu'un robot défectueux fait toujours un mauvais diagnostic. Autrement dit, les pro­po­si­tions \(X\) (resp. \(A\) et \(B\)) et \(P_X\) (resp. \(P_A\) et \(P_B\)) ont la même valeur de vérité, ce qui se traduit par la formule \begin{equation} \label{formrobot} {\mathscr F}:=({\color{#FF0}P_X}\iff {\color{#FF0}X})\wedge({\color{#F44}P_A}\iff {\color{#F44}A})\wedge({\color{#88F}P_B}\iff {\color{#88F}B}). \end{equation}

On construit ensuite la table de vérité des trois pro­po­si­tions \({\color{#FF0}P_X}\), \({\color{#F44}P_A}\) et \({\color{#88F}P_B}\) ainsi que celle de la formule \(\mathscr F\) :

Comme on peut le constater, seule l'interprétation #3 satisfait la formule \((\ref{formrobot})\), il faut donc réparer xam et bax.

Le logicien amoureux

• (a) J'aime Marie ou j'aime Anne.
• (b) Si j'aime Marie, alors j'aime Anne.

On peut traduire ces deux as­ser­tions en formules pro­po­si­tion­nelles. Pour cela on définit les variables pro­po­si­tion­nel­les \(A\) et \(M\) qui sont interprétées de la manière suivante :

• \(A:\) J'aime Anne,
• \(M:\) J'aime Marie,

La pro­po­si­tion (a) se traduit par \(M\vee A\) et la pro­po­si­tion (b) par \(M\then A\). On construit leurs tables de vérité :

Les deux dernières lignes de cette table de vérité (les seules qui assurent que les assertions du logicien sont vraies) montrent que le logicien aime nécessairement Anne mais on ne sait rien de plus au sujet de la nature de sa relation avec Marie. Il nous faut donc un complément d'information pour conclure. À la question Est-il vrai que si vous aimez Marie, alors vous aimez Anne ?, le logicien répond*Notez que cette de­man­de de con­fir­ma­tion de (b) était en soi inu­ti­le puis­que le lo­gi­cien dit tou­jours la vé­ri­té.

• (c) Si c'est vrai, alors j'aime Marie,
• (d) Si j'aime Marie, alors c'est vrai.

Si on traduit ces deux dernières affirmations en pro­po­si­tions, on obtient \((M\then A)\then M\) pour (c) et \(M \then (M\then A)\) pour (d) et on reconnaît là l'équivalence \((M\then A)\iff M\) que l'on rajoute dans la table de vérité. Cette fois il ne reste qu'une seule interprétation pro­po­si­tion­nelle de \(A\) et \(M\) qui assure la vérité des trois pro­po­si­tions, celle où le logicien aime les deux femmes :

Les différentes affirmations du logicien ont donc été traduites sous formes de pro­po­si­tions et nous avons cherché les interprétations \(I\) des différentes variables assurant que leur conjonction était vraie, ici \(I(A)=V\) et \(I(M)=V\).

Les tee-shirts

Étudions le problème suivant : trois frères Alvin, Bob et Clive sont d'âges différents et portent des tee-shirts de couleurs différentes rouge, vert ou jaune. On dispose de deux indices :

1. (a) Celui qui porte le tee-shirt rouge ne porte pas de lunettes et c'est le plus jeune,
2. (b) Alvin porte des lunettes et Bob est plus vieux que celui qui porte le tee-shirt vert.

Phase 1. Certains éléments de l'énoncé sont des attributs (porter des lunettes, porter un tee-shirt d'une certaine couleur, être le benjamin) et sont satisfaits ou non par chaque frère, il est naturel d'en faire des variables pro­po­si­tion­nel­les :

1. \(A_{\color{#F44}R}\) (resp. \(B_{\color{#F44}R}\), \(C_{\color{#F44}R}\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) porte un tee-shirt rouge,
2. \(A_{\color{#0A0}V}\) (resp. \(B_{\color{#0A0}V}\), \(C_{\color{#0A0}V}\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) porte un tee-shirt vert,
3. \(A_{\color{#FF0}J}\) (resp. \(B_{\color{#FF0}J}\), \(C_{\color{#FF0}J}\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) porte un tee-shirt jaune,
4. \(A_L\) (resp. \(B_L\), \(C_L\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) porte des lunettes,
5. \(A_A\) (resp. \(B_A\), \(C_A\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) est l'aîné,
6. \(A_B\) (resp. \(B_B\), \(C_B\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) est le benjamin,
7. \(A_C\) (resp. \(B_C\), \(B_C\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) est le cadet.

On dispose donc de \(21\) variables pro­po­si­tion­nelles. Avant même d'utiliser les indices, il faut for­ma­li­ser un certain nombre de contraintes implicites. Chacun des trois frères doit porter un unique tee-shirt. Ceci se traduit par le fait qu'ils doivent porter un tee-shirt rouge ou vert ou jaune et qu'ils ne doivent pas en porter deux simultanément, soit res­pec­ti­ve­ment les six formules suivantes :

Mais deux frères ne peuvent pas porter le même tee-shirt : \begin{align} &\neg(A_{\color{#F44}R}\wedge B_{\color{#F44}R})\wedge \neg(A_{\color{#F44}R}\wedge C_{\color{#F44}R})\wedge \neg(B_{\color{#F44}R}\wedge C_{\color{#F44}R}),\\ &\neg(A_{\color{#0A0}V}\wedge B_{\color{#0A0}V})\wedge \neg(A_{\color{#0A0}V}\wedge C_{\color{#0A0}V})\wedge \neg(B_{\color{#0A0}V}\wedge C_{\color{#0A0}V}),\\ &\neg(A_{\color{#FF0}J}\wedge B_{\color{#FF0}J})\wedge \neg(A_{\color{#FF0}J}\wedge C_{\color{#FF0}J})\wedge \neg(B_{\color{#FF0}J}\wedge C_{\color{#FF0}J}). \end{align}

Et deux frères ne peuvent être à la même position dans la fratrie :

Phase 2. On formalise maintenant les deux indices du problème avec des formules pro­po­si­tion­nel­les. L'indice (a) nous donne :

L'indice (b) est plus délicat à formaliser. Alvin porte des lu­net­tes impose \(I(A_L):=V\) pour la fonc­tion d'interprétation \(I\) que l'on doit précisément déterminer. C'est la seconde affirmation Bob est plus vieux que celui qui porte le tee-shirt vert. qui demande un peu de réflexion puisqu'il faut l'exprimer uniquement avec les variables dont on dispose. Si Alvin est le benjamin et qu'il porte un tee-shirt vert, alors Bob est soit le cadet soit l'aîné. Si Alvin est le cadet et porte le tee-shirt vert, Bob est nécessairement l'aîné, etc.

Phase 3. Nous sommes face à un total de \(25\) pro­po­si­tions à satisfaire et il reste \(20\) variables à définir puisque nous savons que la variable \(A_L\) doit être vraie. Construire la table de vérité de la conjonction de ces \(25\) pro­po­si­tions n'est pas envisageable à la main, il y a plus d'un million de combinaisons possibles des \(20\) variables pro­po­si­tion­nel­les, mais se programme aisément. Il faut réaliser que l'augmentation du nombre de variables pro­po­si­tion­nelles limite drastiquement la portée de la méthode consistant à construire la table de vérité. Le cours de théorie de la complexité de master montrera que chercher une interprétation qui satisfait un ensemble arbitraire de pro­po­si­tions logiques est un problème que l'on pense ne jamais pouvoir résoudre efficacement*(*) On connaît d'ex­cel­len­tes heu­ris­ti­ques ce­pen­dant..

On peut tenter une approche moins mécanique. Notons \({\color{#F44}R},{\color{#0A0}V},{\color{#FF0}J}\) les trois couleurs, \(B,C,A\) les trois statuts (Benjamin, Cadet, Aîné) dans la fratrie et \(L\) le statut de porteur de lunettes. On rappelle les deux indices :

1. (a) Celui qui porte le tee-shirt rouge ne porte pas de lunettes et c'est le plus jeune,
2. (b) Alvin porte des lunettes et Bob est plus vieux que celui qui porte le tee-shirt vert.

1. Alvin est le cadet, porte des lunettes et le tee-shirt vert,
2. Bob est l'aîné et porte le tee-shirt jaune.

On en déduit évidemment que Calvin est le benjamin et qu'il porte le tee-shirt rouge. Il nous reste à savoir qui porte des lunettes. On sait qu'Alvin en porte et que Calvin ne peut en porter puisqu'il porte le tee-shirt rouge. Pour Bob, on ne sait pas, il peut porter des lunettes ou non. Finalement :

Limites de la logique pro­po­si­tionnelle

De manière générale, un énoncé peut très bien aboutir à la formalisation d'une pro­po­si­tion avec plusieurs in­ter­pré­ta­tions valides (si elles le sont toutes, c'est une tautologie) ou au­cu­ne (antilogie). Ceci justifie la définition suivante :

On utilise la même terminologie pour un ensemble de formules mais dans ce cas il faut que leur con­jonc­tion (qui est une nouvelle formule) soit satisfaisable.

Déterminer si une formule est satisfaisable est un problème extrêmement difficile. Les scientifiques pensent, dans leur grande majorité, qu'aucun moy­en efficace ne permet d'y répondre (cette question sera abordée en détail en master.) On peut, bien sûr, construire la table de vérité de la formule pour faire cette vérification, mais c'est un travail qui devient littéralement infaisable, même pour un ordinateur, dès qu'il y a plus de quelques dizaines de variables pro­po­si­tion­nelles dans la formule.

Les exemples de formalisation que nous venons de traiter illustrent les limites de la logique pro­po­si­tion­nel­le. Son manque d'expressivité nous a contraint à créer un grand nombre de variables pour décrire les différents cas et l'exercice ci-dessus montre que faute de stratégies, il peut être difficile d'automatiser la résolution de problèmes logiques.

Mais, pire encore, que se passerait-il si une énigme faisait référence à des entiers naturels ? Par exemple, au lieu d'invoquer les couleurs des tee-shirts d'Alvin, Bob et Clive, on invoquait dans un énoncé un code secret qui serait un nombre (de taille arbitraire) ? Manipuler un très grand nombre de variables pro­po­si­tionnelle voire une infinité de variables pro­po­si­tion­nel­les n'est envisageable ni pour humain, ni pour une machine. Il faut pouvoir décrire une infinité de situations à l'aide d'une description finie. L'apport du calcul des prédicats permet aussi de formaliser des situations finies de manière bien plus concise, on exprimera par exemple qu'une partie \(X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\) de \(\N\) ne contient que des entiers pairs par la phrase \[ \forall x\in X\ \ \exists k\in\N\ \ x=2\, k. \] plutôt que par l'ensemble des \(n\) pro­po­si­tions suivantes : \[ x_1\ \text{est pair},\ x_2\ \text{est pair},\ x_3\ \text{est pair},\ldots,\ x_n\ \text{est pair}. \]

Le prochain chapitre est consacré à l'étude de la logique des prédicats dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (abrégée en théorie zf).