Raisonnement et logique pro­po­si­tionnelle

Introduction

Trois robots, xam, arg et bax travaillent pour un constructeur automobile et sont dotés d'un module de synthèse vo­cale et d'un module de diagnostic. Lors de leur passage heb­do­ma­dai­re à l'atelier pour une révision, ils font les affirmations suivantes :

bax et arg sont dans le même état.
bax est défectueux.
xam et arg sont en bon état.
🤖 🤖 🤖
xam arg bax

Quand un robot est défectueux, son diagnostic est toujours faux et quand il fonctionne, son diagnostic est toujours vrai. On sait qu'il y a au moins un robot défectueux et au moins un robot en bon état. Quel(s) robot(s) faut-il réparer ?

L'un des objectifs de ce chapitre est de mettre en place l'outillage nécessaire pour répondre à cette question (et beaucoup d'autres) et plus gé­né­ra­le­ment d'étudier des éléments de logique qui seront indispensables dans tout votre cursus en in­for­ma­ti­que.

Les mathématiques poursuivent quatre grands objectifs :

Le mathématicien pur contestera peut-être cette vision appliquée. On peut en effet étudier des objets mathématiques sans autre motivation que la pratique stimulante d'un jeu intellectuel et sans qu'ils aient le moindre rapport avec une quelconque réalité. Pourtant la très grande majorité des théories ma­thé­ma­ti­ques a pour origine des problèmes bien réels engendrant de nouveaux ques­tion­ne­ments qui parfois s'épanouissent au sein de théories autonomes. La dichotomie entre ma­thé­ma­ti­ques pures et appliquées n'a donc pas de raison d'être et si distinction il y a, les deux vivent depuis long­temps en par­fai­te symbiose.

Selon la théorie de l'évolution de Lamarck, la fonction créant l'organe, le langage ma­thé­ma­ti­que s'est pro­gres­si­ve­ment structuré pour que cette science puisse se développer suivant ces quatre axes. Les ma­thé­ma­ti­ques s'imposent naturellement en in­for­ma­ti­que dès que l'on cher­che à analyser un prob­lè­me, à élaborer des méthodes de résolution et à valider les ré­sul­tats obtenus. Le langage ma­thé­ma­ti­que est constitué de plusieurs langages formels imbriqués utilisant des signes et des termes qui leur sont propres et contrairement aux lan­ga­ges in­for­ma­ti­ques, la langue naturelle reste in­dis­pen­sable pour animer la partition. Ce métalangage est totalement formaté par et pour le rai­son­ne­ment.

Que ce soit en in­for­ma­ti­que ou en ma­thé­ma­ti­ques, l'écrit est par es­sen­ce le prin­ci­pal vecteur de com­mu­ni­ca­tion. La conséquence de ce fait in­dis­cu­ta­ble est qu'aucune méthode d'ap­pren­tis­sa­ge, aussi innovante soit-elle, ne pour­ra remplacer une pratique intensive de la lecture et de l'écriture pour pro­gres­ser dans ces deux disciplines.

Les règles de construction des mots, des phrases et plus généralement des langues naturelles qui oc­cu­pent les grammairiens ont leur pendant en ma­thé­ma­ti­ques et en in­for­ma­ti­que. Les ma­thé­ma­ti­ciens se sont intéressés à la théorie de la démonstration dès le début du xxème siècle et les in­for­ma­ti­ciens à la théorie des lan­ga­ges dans les années 1950. Les questions sur la nature du calcul ont lar­ge­ment contribué aux interactions entre les deux disciplines dans le cadre de la théorie de la cal­cu­la­bi­li­té et l'isomorphisme de Curry-Howard établit des liens formels entre une dé­mons­tra­tion dans un système logique et un programme dans un modèle de calcul, autrement dit

prouver\(\ \iff\ \)programmer

Ce ré­sul­tat ne sera pro­ba­ble­ment pas de nature à rassurer l'étudiant qui espérait trouver une échap­pa­toi­re à l'étude des mathématiques, mais il met en évidence les liens profonds qui existent entre ces deux disciplines.

La principale différence entre une langue naturelle et le métalangage ma­thé­ma­ti­que concerne les am­bi­guï­tés et la jus­tes­se des propos. Les ambiguïtés sont inhérentes aux langues naturelles et sont d'ail­leurs largement exploitées dans la rhétorique (allusions, sous-entendus, jeux de mots, sophismes, etc.) alors qu'elles sont bannies du langage ma­thé­ma­ti­que et des lan­ga­ges de programmation. Il est in­dis­pen­sa­ble de les lever dès qu'un énoncé peut être in­ter­pré­té de différentes façons :

Quand j'étais en Afrique, j'ai tué un éléphant en pyjama !  (Groucho Marx)

C'est ce qui explique la nature particulière des textes ma­thé­ma­ti­ques qui emploient des tour­nu­res de phrases rarement utilisées dans le langage commun, comme si et seulement si, deux-à-deux dis­joints, un et un seul, non-vide, etc. La logique naturelle n'est pas tout à fait celle de la lo­gi­que clas­si­que des ma­thé­ma­tiques, il existe d'ailleurs des logiques ma­thé­ma­ti­ques (dites non-clas­si­ques par opposition) dont certaines ont précisément pour objet d'être plus proches de celle que nous pra­ti­quons au quo­ti­dien. Là aussi, il est nécessaire de clarifier certaines situations. Notons que les problèmes d'interprétation de la logique ne concernent pas que les mathématiques, mais parfois les tribunaux.

Pour baptiser les objets que l'informaticien/ma­thé­ma­ti­cien construit, les mots sont choisis avec beau­coup de précaution et sont censés être en adéquation avec l'acception qu'ils ont com­mu­né­ment. Pourtant certaines distorsions existent parfois entre le sens que nous donnons à un mot et celui qu'il a en mathématiques, ce qui peut être une source d'erreurs ou de con­fu­sion. D'autre part, certains mots désignent des objets mathématiques différents selon le contexte où ils sont emp­loyés. Il faut en être conscient et comprendre le rôle réellement capital des définitions qui précisent leur sens dans un en­vi­ron­ne­ment par­ti­cu­lier. Ceci explique la structuration litanique des textes ma­thé­ma­ti­ques en al­ter­nan­ce de définitions et de théorèmes.

Pour commencer ce cours, nous allons étudier le socle logique des mathématiques et de l'in­for­ma­ti­que. Pour illustrer notre propos, nous aurons souvent besoin d'exemples qui intègrent des objets ou des notions que nous n'aurons pas encore définies formellement mais qui sont bien connues du lecteur, ou qui sont censées l'être. Ce n'est pas contraire à ce qui se fait dans tout apprentissage, la pratique de la conduite d'un véhicule est un atout pour en comprendre le fonc­tion­ne­ment. Dans la suite, si certains objets mathématiques sont construits à l'aide d'outils qui auraient dû être définis en aval, c'est pour ne pas compliquer inutilement l'exposé, cela sous-entend que ces outils ne sont pas eux-mêmes définis à l'aide de ces objets, ce qui créerait alors un cercle vicieux.

Calcul pro­po­si­tion­nel

Nécessité d'un cadre formel

L'étymologie du mot logique dévoile les mots raison et langage. La logique est à la base de l'ar­ti­cu­la­tion du discours ma­thé­ma­ti­que et du fonc­tion­ne­ment ato­mi­que d'un ordinateur, il n'y a rien de sur­pre­nant à ce qu'elle se soit épanouie sur le for­mi­da­ble terrain de jeu qu'est l'in­for­ma­ti­que où elle est om­ni­pré­sen­te. Les combinaisons de pro­po­si­tions à l'aide de con­nec­teurs logiques constituent la première strate du raisonnement mathématique et de la construction des circuits électroniques. Il s'agit d'un langage à part entière, c'est le langage du cal­cul pro­po­si­tion­nel dont nous allons fixer les règles de composition. Nous aborderons d'abord les aspects mathématiques, le chapitre Calcul booléen en don­ne­ra une vision plus proche de l'in­for­ma­ti­que et de l'électronique avec l'algèbre de Boole, les fonctions boo­lé­en­nes et les circuits logiques.

De manière analogue aux langues naturelles, un énoncé ma­thé­ma­ti­que ou un programme in­for­ma­ti­que doit respecter :

Pour commencer, nous allons mettre en évidence les problèmes liés à la sémantique de la logique en langue naturelle et qui vont nous amener à la reconsidérer dans le cadre du langage du calcul pro­po­si­tion­nel.

Une pro­po­si­tion­ est un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité vrai ou faux.

Il est important de noter dans cette définition informelle qu'il est possible d'attribuer une valeur de vérité à une pro­po­si­tion­. Une pro­po­si­tion n'a pas besoin d'une valeur de vérité pour être une pro­po­si­tion, d'autre part si valeur de vérité il y a, elle n'est pas con­sub­stan­tiel­le à la pro­po­si­tion. Certains auteurs par­lent d'assertion pour une pro­po­si­tion, mais nous préférons ici réserver ce terme pour désigner une pro­po­si­tion­ énoncée comme vraie. Une assertion est donc une affirmation, ce qui rend son usage conforme à l'ac­cep­tion de ce terme en français.

À titre d'exemples voici quelques énoncés dont certains sont des pro­po­si­tion­s, d'autres non pour cette définition :

  1. Il pleut,
  2. Pourquoi le poulet a-t-il traversé la route ?
  3. Ce chapitre est trop long à lire,
  4. \(\def\then{{\;\Rightarrow\;}}\def\iff{{\;\Leftrightarrow\;}}1+2=3\),
  5. Ce cours sera en ligne le 24 février 3016,
  6. L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable,
  7. Si les poules avaient des dents, alors j'irais sur la lune,
  8. À la montagne, on est plus vite en haut qu'à pied.
  9. Je mens,
  10. \(0\,(\,4=-1\),
  11. Cette phrase n'a pas de valeur de vérité,
  12. \(1+\sqrt{x} > 4\)
  13. Cette phrase n'est pas une phrase.

L'énoncé #2 est une interrogation, l'énoncé #8 est absurde, l'énoncé #10 n'est pas correct syn­ta­xi­que­ment. On ne peut pas attribuer de valeur de vérité à l'énoncé #12 sans connaître la valeur de la variable numérique \(x\), il ne s'agit pas stricto sensu d'une pro­po­si­tion­, on utilise dans ce cas le terme de prédicat ou d'énoncé contingent, qui est le centre d'étude du prochain chapitre.

Tous les autres énoncés sont des pro­po­si­tion­s, mais il n'est pas toujours possible de leur affecter une valeur de vérité sans autres considérations. En effet, la valeur de vérité de la pro­po­si­tion­ #1 dépend implicitement du contexte, le lieu et le moment, tout comme celle de la pro­po­si­tion­ #3 qui dépend du lecteur. Il est donc délicat de les considérer comme des pro­po­si­tions mathématiques stricto sensu. La pro­po­si­tion­ #4 est vraie pour peu que l'on admette les règles de représentation des nombres et que l'on connaisse les rudiments du calcul. Établir une valeur de vérité de la pro­po­si­tion­ #5 est illusoire (ce qui ruine au passage mes espoirs de postérité). La pro­po­si­tion­ #6 demande une certaine connaissance de l'arithmétique pour établir qu'elle est vraie. La pro­po­si­tion­ #7 est vraie du point de vue du logicien, mais peut sembler absurde, voire fausse pour le lecteur lambda. Les pro­po­si­tion­s #9 et #11 sont des paradoxes logiques, elles ne peuvent être vraies ou fausses sans créer une contradiction. Les paradoxes logiques émergent parfois quand il y a autoréférence, c'est-à-dire quand un énoncé fait référence à lui-même*(*) Par exemple la pro­po­si­tion Je suis un men­teur ne peut être vraie ou fausse sans abou­tir à une con­tra­dic­tion. mais cela n'a rien de systématique, par exemple la pro­po­si­tion­ #13 est fausse.

Il apparaît que l'interprétation d'une pro­po­si­tion­ en langue naturelle n'est pas un exercice trivial, loin s'en faut. Toujours dans ce cadre, nous allons voir qu'il est éga­lement délicat d'analyser les énon­cés contenant des con­nec­teurs logiques pourtant omniprésents dans nos langues naturelles. Con­si­dé­rons les phrases suivantes :

  1. Le cassis ou le poivre sont des baies.
  2. Je travaille ou je me repose.
  3. Apprenez votre cours ou vous aurez une mauvaise note.
  4. Alice et Bob sont mariés.
  5. Les étudiants dont la note en maths est supérieure à 7 et inférieure à 12.
  6. Je suis déçu du résultat du contrôle continu et je jette toutes les copies.
  7. Le facteur dépose le courrier donc le chien aboie.
  8. Il pleut et je dois sortir les poubelles.

Certains con­nec­teurs peuvent avoir une signification différente selon le contexte. Le con­nec­teur ou de la première phrase est inclusif, le second est exclusif et le troisième exprime une conséquence. La quatrième phrase laisse entendre qu'Alice est mariée avec Bob, mais ce n'est pas une cer­ti­tu­de, il est donc difficile de lui attribuer une valeur de vérité. Le con­nec­teur et de l'énoncé #5 code une énu­mé­ra­tion et pas une simple conjonction. De même, la conjonction de l'énoncé #6 induit une con­sé­quen­ce et celle de l'énoncé #8 induit une obligation.

Un con­nec­teur logique est dit vé­ri­fonc­tion­nel si la valeur de vérité de la pro­po­si­tion dans laquelle il apparaît dépend exclusivement des valeurs de vérité des pro­po­si­tions qu'il connecte.

En général les con­nec­teurs logiques des langues n­atu­rel­les ne sont pas vé­ri­fonc­tion­nels. Sup­posons par exemple que la pro­po­si­tion Le facteur dépose le courrier et la pro­po­si­tion le chien aboie soient toutes deux vraies. Si la pro­po­si­tion­ Le facteur dépose le courrier donc le chien aboie est très certainement vraie, la pro­po­si­tion Le chien aboie donc le facteur dépose le courrier est probablement fausse. Ainsi, en logique na­tu­rel­le, d'autres éléments que la valeur de vérité des pro­po­si­tions connectées interviennent pour fixer la valeur de vérité de leur composition. Dans le langage mathématique, les con­nec­teurs doivent être vérifonctionnels. Cette exigence é­lé­men­tai­re peut créer une césure entre la logique na­tu­rel­le et la logique mathématique.

En anticipant un peu sur l'étude des con­nec­teurs logiques, la valeur de vérité d'une pro­po­si­tion contenant le con­nec­teur logique d'imp­li­ca­tion peut suprendre, ainsi la pro­po­si­tion \[({\color{#EEF}1+2=3})\ \then\ {(\color{#EEF}\text{la Terre est ronde}})\] est vraie, alors qu'il n'y a aucun lien de cause à effet entre les deux pro­po­si­tions con­nec­tées qui sont toutes les deux vraies. Pire, la proposition \[ ({\color{#EEF}1+2=0})\ \then\ {(\color{#EEF}\text{la Terre est ronde}}) \] est également vraie, alors que l'expression \(1+2=0\) est fausse (si on considère l'addition des entiers naturels) !

Nous avons déjà constaté que la valeur de vérité d'une pro­po­si­tion n'est pas con­sub­stan­tiel­le à sa struc­tu­re et nous venons de mettre en évidence que les con­nec­teurs logiques dans les énoncés en langue naturelle peuvent être difficiles à interpréter ou impropres à un usage mathématique. La manière la plus efficace de se débarrasser de ces problèmes consiste à éliminer dans un premier temps toute interprétation dans une pro­po­si­tion­, elle devient une construction purement syntaxique. C'est une façon bien commode de procéder, on limite le champ d'investigation de la logique à des entités simples en les détachant de la réalité. C'est ce que nous faisons en permanence en ma­thé­ma­ti­ques. Même pour un simple calcul comme \begin{equation} \label{expr:decimal} 2\times (5+93)=196. \end{equation} On ne se préoccupe ni de sa signification, ni de savoir si \(196\) représente une quantité, le poids d'une table ou la hauteur d'un immeuble, seule l'application correcte de l'addition et de l'a multiplication dans l'expression abstraite importe. Le distinguo entre la syntaxe et la sé­man­ti­que de l'expression \(196\) est peut-être difficile à percevoir pour le lecteur car la confusion a été volontairement en­tre­nue par les règles de lecture d'un nombre (ici cent-quatre-vingt-seize) où le chiffre le plus significatif est intégré avant les autres afin d'assurer la perception rapide d'une mesure au lieu d'égrener les chif­fres un, neuf, six. On encapsule ainsi forme et fond. C'est la raison exacte de l'apprentissage de la lecture des mots et des nombres, l'objectif est précisément de ne plus avoir à les déchiffrer (toujours cette analogie avec les nombres !) pour en saisir le sens. En remplaçant l'écriture des nombres en base 10 par leur écriture en chiffres ro­mains, on fait res­surgir la séparation entre syn­taxe et sémantique  :

\begin{equation} \label{expr:romain} \text{II}\times\text{(V}+\text{XCIII)}=\text{CXCVI} \end{equation}

La lecture des 5 chiffres romains CXCVI n'évoque pas mentalement la quantité que nous per­ce­vons sans peine sous la forme décimale \(196\), et pourtant les deux représentations codent exactement le mê­me nombre.

Trouvez des exemples de pro­po­si­tions contenant un ou inclusif en langue naturelle.
En voilà quelques-unes :
  1. J'aime me promener en forêt ou à la montagne.
  2. Le néon ou le radon sont des gaz.
  3. \(12\) est un multiple de \(3\) ou \(4\).
  4. On peut trouver cet article en grande surface ou sur le net.
  5. Demain il y aura du vent ou du soleil.

La conclusion de cette section est qu'une pro­po­si­tion logique n'est pas aisée à ap­pré­hen­der dans le cadre de la langue naturelle.

Syntaxe du calcul pro­po­si­tion­nel

Concentrons-nous pour le moment sur les aspects lexicaux et syn­ta­xi­ques du langage, nous re­vien­drons sur l'aspect sémantique un peu plus loin. Il faut tout d'abord disposer d'un lexique de sym­bo­les — un alphabet — ces symboles sont répartis en quatre catégories :

  1. Les constantes \(\top\) et \({\bot}\).
  2. Les variables pro­po­si­tion­nelles ou pro­po­si­tion­s atomiques que l'on décrit généralement à l'aide de lettres de l'alphabet latin. Elles sont en nombre fini et ne peuvent prendre que les deux valeurs \(\top\) ou \({\bot}\).
  3. Les parenthèses \((\) et \()\).
  4. Les con­nec­teurs logiques \(\neg\), \(\vee\), \(\wedge\), \(\Rightarrow\), \(\Leftrightarrow\), \(\oplus\), \(\uparrow\), \(\downarrow\).

Voilà pour le lexique, passons à la syntaxe. À partir des variables pro­po­si­tion­nelles, on peut créer de nouvelles ex­pres­sions grâce aux con­nec­teurs logiques qui les mettent en relation dans une formule (nous définirons précisément ce terme plus bas).

L'arité d'un con­nec­teur logique est le nombre \(q\) de pro­po­si­tion­s qu'il permet de connecter, on parle aussi de con­nec­teur \(q\)-aire.
Si \(q=1\), le connecteur est dit unaire, si \(q=2\), binaire, si \(q=3\) ternaire, etc.

À l'instar de l'expression arithmétique \(2(x+1)+y\) contenant deux variables \(x\) et \(y\), la valeur d'une formule est fonction#(#) dépend des valeurs des variables pro­po­si­tion­nel­les qu'elle con­tient. Les variables pro­po­si­tion­nelles ne pouvant prendre qu'un nombre fini de valeurs (\(\top\) ou \({\bot}\)), un con­nec­teur logique est en­tiè­re­ment caractérisé par les différentes valeurs possibles de l'expression suivant les valeurs des variables qu'il connecte. Notons que l'on ne peut pas caractériser les opérateurs arithmétiques de cette manière, l'addition dans \(\def\Z{{\Bbb Z}}\Z\) par exemple, car l'ensemble des valeurs possibles des variables est infini.

Il n'est pas nécessaire d'étudier l'analyse combinatoire, pour vérifier qu'il y a \(2^q\) com­bi­nai­sons possibles pour les valeurs des \(q\) variables pro­po­si­tion­nel­les d'un con­nec­teur \(q\)-aire, et donc \(2^{2^q}\) façons différentes de définir un con­nec­teur \(q\)-aire. En effet pour chacune des \(2^q\) valeurs possibles du \(q\)-uplet constitué des \(q\) variables, l'expression peut pren­dre \(2\) valeurs distinctes \(\top\) ou \({\bot}\). La première table contient les 4 con­nec­teurs unaires possibles \(\star_i\), la suivante les 16 con­nec­teurs binaires possibles \(\diamond_j\) :

\(P\)\(\star_1\)\(\star_2\)\(\star_3\)\(\star_4\)
\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\top\)\(\top\)
\(\top\)\(\bot\)\(\top\)\(\bot\)\(\top\)
Les 4 con­nec­teurs unaires \(\star_i\) caractérisés par les 2 valeurs \(\star_i\; P\).

\(P\)\(Q\)\(\diamond_1\)\(\diamond_2\)\(\diamond_3\)\(\diamond_4\)\(\diamond_5\)\(\diamond_6\)\(\diamond_7\)\(\diamond_8\)\(\diamond_9\)\(\diamond_{10}\)\(\diamond_{11}\)\(\diamond_{12}\)\(\diamond_{13}\)\(\diamond_{14}\)\(\diamond_{15}\)\(\diamond_{16}\)
\(\bot\)\(\bot\) \(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)
\(\bot\)\(\top\) \(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)\(\top\)
\(\top\)\(\bot\) \(\bot\)\(\bot\)\(\top\)\(\top\)\(\bot\)\(\bot\)\(\top\)\(\top\)\(\bot\)\(\bot\)\(\top\)\(\top\)\(\bot\)\(\bot\)\(\top\)\(\top\)
\(\top\)\(\top\) \(\bot\)\(\top\)\(\bot\)\(\top\)\(\bot\)\(\top\)\(\bot\)\(\top\)\(\bot\)\(\top\)\(\bot\)\(\top\)\(\bot\)\(\top\)\(\bot\)\(\top\)
Les \(16\) con­nec­teurs binaires \(\diamond_i\) caractérisés par les 4 valeurs \(P\;\diamond_i\; Q\).

Les con­nec­teurs unaires \(\star_1\) et \(\star_4\) sont constants et l'expression \(\star_2\; P\) prend exactement les mêmes va­leurs que \(P\), le con­nec­teur \(\star_2\) est ainsi l'identité. Le seul con­nec­teur qui ne soit pas trivial est donc \(\star_3\), c'est la négation logique.

Les deux con­nec­teurs binaires \(\diamond_{1}\) et \(\diamond_{16}\) sont constants, les con­nec­teurs \(\diamond_{4}\) et \(\diamond_{13}\) ne dépendent que de la valeur du premier opérande \(P\) et les con­nec­teurs \(\diamond_{6}\) et \(\diamond_{11}\) ne dépendent que de la valeur du deu­xième opérande \(Q\). Ces \(6\) opérateurs ont donc peu d'intérêt, mais il en reste malgré tout 10. Sept d'entre eux sont baptisés car ils sont com­mu­né­ment utilisés en Ma­thé­ma­ti­ques et/ou en Informatique et/ou en Électronique. On a fi­na­le­ment huit con­nec­teurs usuels et selon le con­tex­te ou la discipline, on en utilise tout ou partie :

Con­nec­teurNomSymboleLectureUsage
\(\star_3\)négation\(\neg\) nonM|I|É
\(\diamond_2\)con­jonc­tion\(\wedge\)etM|I|É
\(\diamond_8\)dis­jonc­tion\(\vee\)ouM|I|É
\(\diamond_{14}\)implication\(\Rightarrow\)impliqueM|I
\(\diamond_{10}\)équivalence\(\Leftrightarrow\)équivalentM|I
\(\diamond_{7}\)disjonction exclusive\(\oplus\)ou exclusifI|É
\(\diamond_{15}\)non conjonction\(\uparrow\)non etI|É
\(\diamond_{9}\)non disjonction\(\downarrow\)non ouI|É
Les 16 con­nec­teurs binaires \(\diamond_i\) caractérisés par les 4 valeurs \(P\;\diamond_i\; Q\). L'usage est indicatif.
Les symboles utilisés pour représenter les con­nec­teurs logiques sont parfois différents dans cer­tains ouvrages.

Quand un con­nec­teur est placé avant ses opérandes, on dit qu'il est en notation préfixe, c'est le cas de l'opérateur unaire de négation \(\neg\). Quand un con­nec­teur est placé après ses opé­ran­des, on dit qu'il est en notation postfixe. Par exemple la transposée d'une matrice \(A\) est gé­né­ra­le­ment écrite sous forme postfixe \(A^t\) bien que l'écriture préfixe \({}^t\!A\) soit également très commune. Quand l'opérateur est binaire et qu'il est placé entre les deux opérandes, on dit qu'il est en notation infixe et c'est généralement cette notation qui est employée en logique pro­po­si­tion­nel­le, on écrit donc plus vo­lon­tiers \(P\Rightarrow Q\) que \(P\ Q\ \Rightarrow\), bien que la notation post­fixe soit très utilisée en in­for­ma­ti­que, elle permet en effet de se passer des pa­ren­thè­ses et d'évaluer très facilement une expression (ce point sera étudié en cours d'algorithmique de deuxième année).

Une formule ou expression bien formée, est définie inductivement par les règles de réécriture suivantes :
    Règle 1. \(formule \leftarrow \color{#FF8}P\) où \(P\) est l'une des variables pro­po­si­tion­nel­les.
    Règle 2. \(formule \leftarrow \color{#FF8}\top\)
    Règle 3. \(formule \leftarrow \color{#FF8}\bot\)
    Règle 4. \(formule \leftarrow {\color{#FF8}\neg} formule\)
    Règle 5. \(formule \leftarrow {\color{#FF8}(}formule\;{\color{#FF8}\diamond}\; formule{\color{#FF8})}\) où \(\diamond\) est l'un des con­nec­teurs binaires.
On appelle formule atomique ou atome toute formule \(P\) réduite à une simple variable pro­po­si­tion­nelle.
On appelle littéral tout atome \(P\) ou sa négation \(\neg P\). Dans le premier cas il est dit positif, dans le second cas négatif.
On appelle clause con­jonc­tive (resp. clause disjonctive) toute formule qui est une conjonction (resp. disjonction) de littéraux. Une clause désigne soit une clause con­jonc­tive soit une clause dis­jonc­tive.
Soit \(P\), \(Q\) et \(R\) trois variables propositionnelles. La formule \(Q\) est une formule atomique, la formule \((P\vee(\neg Q\wedge (R\wedge\neg P)))\) contient les littéraux positifs \(P\) et \(R\) et les littéraux négatifs \(\neg Q\) et \(\neg P\). La formule \(((P\vee Q)\vee\neg R)\) est une clause dis­jonc­tive alors que la formule \(P\wedge\neg Q\) est une clause con­jonc­tive. Notons qu'une clause qui ne contient qu'un littéral est à la fois con­jonc­tive et dis­jonc­tive.

Analyse d'une formule

Une expression comme \begin{equation} \label{eq:ex1} ((P\Rightarrow Q) \wedge (P\vee \neg R)) \end{equation} est suffisamment courte pour qu'une simple lecture suffise à nous convaincre qu'il s'agit bien d'une formule de la logique propositionnelle. Les exercices que l'on peut traiter à la main en mathématiques dans ce domaine se préoccupent rarement de ce type de question, c'est le calcul littéral qui est privilégié. C'est une tout autre histoire en in­for­ma­ti­que, c'est une machine qui doit analyser de telles expressions et elles ne se limitent pas à une poignée de symboles.

Avant même d'automatiser le processus, problème qui sera abordé en théorie des langages, il faut savoir démontrer qu'une expression est bien formée. Il faut être en mesure de décrire comment elle a été construite à partir des \(5\) règles fournies dans la définition d'une formule. On peut partir du bas avec les atomes et les constantes en construisant successivement de nouvelles formules (analyse ascendante) jusqu'à obtenir la formule souhaitée, ou du haut, en décomposant la formule et en recommençant sur chaque sous-formule (analyse descendante).

Voici une séquence de rè­gles possible en analyse ascendante. À chaque étape, on définit une nou­vel­le formule qui sera exploitée dans la construction des formules suivantes. La règle appliquée est indiquée au-dessus de l'affectation : \begin{align*} f_1&\ {\color{#FF8}\overset{R_1}{\leftarrow}}\ P\\ f_2&\ {\color{#FF8}\overset{R_1}{\leftarrow}}\ Q\\ f_3&\ {\color{#FF8}\overset{R_5}{\leftarrow}}\ (f_1\then f_2)\\ f_4&\ {\color{#FF8}\overset{R_1}{\leftarrow}}\ R\\ f_5&\ {\color{#FF8}\overset{R_4}{\leftarrow}}\ \neg f_4\\ f_6&\ {\color{#FF8}\overset{R_5}{\leftarrow}}\ (f_1\vee f_5)\\ f_7&\ {\color{#FF8}\overset{R_5}{\leftarrow}}\ (f_3\wedge f_6)\\ \end{align*}

Voici une séquence de rè­gles possible en analyse descendante. À chaque étape, un cadre nu­mé­ro­té indique la règle qui décompose la sous-formule : \begin{align*} &\boxed{{\color{#FFF}formule}}_{\;5}\\ (\boxed{{\color{#FFF}formule}}_{\;5}&\wedge{\color{#FFF}formule})\\ (({\boxed{{\color{#FFF}formule}}}_{\;1} \Rightarrow{\color{#FFF}formule})&\wedge{\color{#FFF}formule})\\ ((P \Rightarrow {\boxed{{\color{#FFF}formule}}_{\;1}})&\wedge {\color{#FFF}formule})\\ ((P \Rightarrow Q)&\wedge {\boxed{{\color{#FFF}formule}}_{\;5}})\\ ((P \Rightarrow Q)&\wedge ({\boxed{{\color{#FFF}formule}}_{\;1}}\vee{\color{#FFF}formule}))\\ ((P \Rightarrow Q)&\wedge (P\vee {\boxed{{\color{#FFF}formule}}_{\;4}}))\\ ((P \Rightarrow Q)&\wedge (P\vee \neg {\boxed{{\color{#FFF}formule}}_{\;1}}))\\ ((P \Rightarrow Q)&\wedge (P\vee \neg R)) \end{align*}

Sauf cas particuliers, il existe plusieurs séquences de règles possibles pour établir une formule. Une telle séquence de règles s'appelle une dérivation de la formule. La re­pré­sen­ta­tion d'une formule à l'aide d'un arbre de dérivation permet de mieux comprendre sa structure. C'est un arbre schématisé dont le principe de construction est simple et inductif. Une formule avec un con­nec­teur \(q\)-aire est représentée à l'aide de \(q+1\) nœuds dans cet arbre, le con­nec­teur est placé à la racine de l'arbre qui est reliée à chacun des \(q\) opérandes dans l'ordre de leur apparition dans la formule.

Les deux arbres suivants représentent res­pec­ti­ve­ment une formule avec un con­nec­teur unaire et son opérande et une formule avec un con­nec­teur binaire et ses deux opérandes (les arbres sont dits unai­re et binaire) :

          
L'arbre de dérivation d'un con­nec­teur unaire \(\star\) et d'un con­nec­teur binaire \(\square\) reliant des formules.

On représente très souvent les arbres à l'envers, racine en haut et feuilles en bas, car les processus de construction des arbres abstraits commencent le plus souvent par la racine. On met ainsi en cohérence le sens de lecture et la chronologie de la construction.

Quand les opérandes d'un con­nec­teur sont eux-mêmes des formules, on remplace chaque formule par l'arbre correspondant inductivement. Ainsi la formule \(((P\Rightarrow Q) \wedge (P\vee \neg R))\) a pour arbre de dé­ri­va­tion l'arbre ci-dessous :

L'arbre de dérivation de \(((P\Rightarrow Q) \wedge (P\vee \neg R))\)

Si une formule peut admettre plusieurs dérivations, elle n'a qu'un seul arbre de dérivation ce qui justifie l'emp­loi du singulier défini. Comme pour les opérations arithmétiques, on décide de certaines prio­ri­tés pour simp­li­fier les écri­tu­res. La négation est prioritaire sur la conjonction qui est prioritaire sur la disjonction, elle-mê­me prioritaire sur l'implication. Néanmoins, il est hautement pré­fé­ra­ble d'écrire toutes les pa­ren­thè­ses, l'expérience prouve qu'elles facilitent beaucoup plus sou­vent la lecture qu'elles ne la com­pli­quent. On simplifie malgré tout les formules en omettant les parenthèses aux extrémités, la formule simplifiée de \((\ref{eq:ex1})\) s'écrit \((P\Rightarrow Q) \wedge (P\vee \neg R).\)

Un étudiant s'étonnait de ne pas avoir eu le point attribué à une ques­tion dans laquelle il fallait représenter l'arbre de dérivation de la formule \(\neg P\Rightarrow Q\) (à droite ci-dessous) qu'il avait représenté comme à gauche ci-dessous en arguant qu'ils étaient égaux :

au lieu de

Effectivement, dans ces deux graphes, les relations entre éléments matérialisées par des arcs sont strictement égales (vous pourrez en faire la preuve à titre d'exercice en définissant l'ensemble sur lequel sont définis les graphes de ces deux relations une fois cette partie du cours étudiée)*(*) ils le sont éga­le­ment du point de vue to­po­lo­gi­que.. Néanmoins, il s'agit ici d'une représentation avec une sémantique, elle met en particulier en évidence la position des opérandes gauche et droit de part et d'autre d'un opérateur binaire comme l'implication \(\Rightarrow\). Autrement dit, la représentation à gauche ne fournit pas la même information que celle de droite compte tenu des conventions de représentation des arbres de dérivation. Je doute échapper à une contravention pour conduite à contresens en prétextant que les deux pan­neaux à sens unique et sont égaux…

Analogie avec un langage de programmation

Comme nous l'avons précisé en introduction, les mathématiques s'expriment grâce à un empilement de langages, celui de la logique propositionnelle étant le premier et le plus simple d'entre eux. On retrouve cette hiérarchie dans les langages de programmation eux même empilement de plusieurs langages et la logique propositionnelle en fait généralement partie, comme c'est le cas en Python.

Bien sûr, l'écriture des programmes in­for­ma­ti­ques passant par l'usage d'un clavier avec un alphabet restreint, le lexique du langage de la logique propositionnelle est nécessairement différent de celui des mathématiques et les symboles représentant les connecteurs logiques sont remplacés par leurs noms en toutes lettres, or pour \(\vee\), and pour \(\wedge\), etc. Mais, au même titre que le langage de la logique propositionnelle est un sous-langage du langage mathématique, le langage de la logique propositionnelle est un sous-langage du Python.

Par exemple dans la formule \(P\vee (Q\wedge R)\), les variables propositionnelles \(P\), \(Q\) et \(R\) sont codées en Python par les trois objets de type booléen P, Q et R et la formule homologue est P or (Q and P).

Ce n'est pas le seul sous-langage mathématique qui a été transposé en Python, celui de l'arithmétique l'a été également avec quelques bouleversements mineurs sur le lexique et la syntaxe pour les mêmes raisons de limitation du clavier. La multiplication \(\times\) est codée par le symbole * en Python par exemple.

Sémantique du calcul pro­po­si­tion­nel

Revenons à la sémantique. Il s'agit d'attribuer un sens à une formule, on veut l'interpréter. Seules deux valeurs logiques sont possibles, vrai ou faux, c'est la valeur de vérité de la formule. Une in­ter­pré­ta­tion est donc une fonction \(I:{\mathscr F}\rightarrow \{vrai,\;faux\}\) de l'en­semb­le des formules pro­posi­tion­nel­les \(\mathscr F\) dans l'ensemble*(*) Les termes ensemble et fonction ne sont pas dé­fi­nis for­mel­le­ment à ce stade mais la vision naïve est suf­fi­san­te ici. \(\{vrai,\;faux\}.\)

Les règles qui permettent d'attribuer un sens aux formules doivent être cohérentes avec les règles de construction syntaxique. La fonction d'in­ter­pré­ta­tion \(I\) est définie en fixant arbi­trai­re­ment une valeur de vérité \(vrai\) ou \(faux\) à chacune des variables pro­po­si­tion­nelles. C'est la seule marge de manœuvre dont on dispose si l'on décide que les constantes \(\top\) et \(\bot\) (objets syntaxiques) sont in­ter­pré­tées res­pec­ti­ve­ment comme les valeurs logiques \(vrai\) et \(faux\) (objets sé­man­ti­ques), c'est-à-dire \(I(\top):=vrai\) et \(I(\bot):=faux\) et que la fonc­tion d'interprétation d'une formule se conforme aux tables des con­nec­teurs logiques. Ainsi pour respecter la cohérence entre syntaxe et sémantique, l'interprétation des différentes variables propositionnelles qui sont impliquées dans une formule fixe l'interprétation de la formule.

On appelle in­ter­pré­ta­tion d'une formule toute fonction de l'ensemble des variables pro­po­si­tion­nelles qu'elle contient dans l'ensemble \(\{vrai,\;faux\}.\)

À présent, une formule de la logique pro­po­si­tion­nelle est bien une pro­po­si­tion au sens de la première définition (informelle). Nous pouvons donc employer le terme pro­po­si­tion pour désigner une formule de la logique pro­po­si­tion­nelle.

En remplaçant \(\top\) par \(vrai\) et \(\bot\) par faux dans les tables des con­nec­teurs logiques, on obtient leurs tables de vérité. Nous avons regroupé les 7 tables de vérité des con­nec­teurs logiques binaires dans un unique tableau et avons résumé les valeurs de vérité vrai et faux par \(V\) et \(F\) respectivement pour plus de lisibilité.

\(P\)\(\neg P\)
FV
VF
\(P\)\(Q\) \(\ P\wedge Q\ \) \(\ P\vee Q\ \) \(\ P\Rightarrow Q\ \) \(\ P\Leftrightarrow Q\ \) \(\ P\oplus Q\ \) \(\ P\uparrow Q\ \) \(\ P\downarrow Q\ \)
FF FFVVFVV
FV FVVFVVF
VF FVFFVVF
VV VVVVFFF

Tables de vérité des huit opérateurs logiques usuels unaires et binaires.

La table de vérité d'une formule contient ses valeurs de vérité pour l'intégralité des combinaisons possibles des variables pro­po­si­tion­nel­les qu'elle contient. La table de vérité de la formule \((\ref{eq:ex1})\) est pré­sen­tée ci-dessous et pour faciliter la compréhension, les deux sous-formules de la conjonction sont pré­sen­tes également :

\(P\)\(Q\)\(R\) \(\ P\Rightarrow Q\ \) \(\ P\vee\neg R\ \) \(\ (P\Rightarrow Q)\wedge( P\vee\neg R\ )\)
FFF VVV
FFV VFF
Interprétation \(\color{#AA88FF}{I}\quad \) FVF VVV
FVV VFF
VFF FVF
VFV FVF
VVF VVV
VVV VVV
Table de vérité de la formule \((P\Rightarrow Q)\wedge( P\vee\neg R)\)

Comment construit-on effectivement une table de vérité ? L'algorithme est simple, on se donne tout d'abord une in­ter­pré­ta­tion \(\color{#AA88FF}{I}\) pour remplacer chaque variable pro­po­si­tion­nelle \(P\) — donc chaque feuille de l'arbre de dérivation (sur fond gris dans les exemples) — par sa valeur de vérité \(I(P)\), puis on ap­pli­que in­duc­ti­ve­ment les deux opérations sui­vantes sur l'arbre de dérivation :

  1. on remplace chaque sous-arbre constitué d'un con­nec­teur unaire de négation et de sa feuille par un seul nœud contenant la négation de la valeur contenue dans la feuille,
  2. on remplace chaque sous-arbre constitué d'un con­nec­teur binaire et de ses deux feuilles par un seul nœud contenant la valeur de la sous-formule correspondante,
et ceci jusqu'à ce que l'arbre soit réduit à sa seule racine qui contient alors la valeur de vérité de la formule. Pour notre exemple, avec l'interprétation \(I(P)=\color{#FF8}F\), \(I(Q)=\color{#FF8}V\) et \(I(R)=\color{#FF8}F\), on ob­tient successivement les 5 arbres suivants (les nœuds des sous-arbres auxquels on applique une règle sont cerclés en jaune, les opérateurs sont sur fond noir, les opérandes sur fond gris) :

Évaluation de l'arbre de dérivation de la formule \((P\Rightarrow Q)\wedge( P\vee\neg R)\) pour l'interprétation \(I\).

Deux formules \(F_1\) et \(F_2\) qui ont même valeur de vérité pour toute interprétation \(I\) de leurs variables sont dites logiquement équivalentes, ce que l'on note \(F_1\equiv F_2\). Le symbole \(\equiv\) est appelé équivalence logique.
En anticipant sur le chapitre Relations, applications, l'équivalence logique est une relation d'équivalence définie sur l'ensemble des formules pro­po­si­tionnelles. Un énoncé du type \(F_1\equiv F_2\) n'est donc pas une formule pro­po­si­tionnelle, mais constitue une proposition au sens informel.

On montre aisément que pour toute proposition \(P\), on a \begin{equation}\label{eq:neg} \neg(\neg P)\ \equiv\ P \end{equation} et que deux propositions \(P\) et \(Q\) peuvent être échangées sans rien changer aux tables de vérités des formules \(P \vee Q\) et \(P\wedge Q\), au­tre­ment dit que les con­nec­teurs logiques de dis­jonc­tion et de conjonction sont com­mu­ta­tifs : \begin{align}\label{eq:comou} P \vee Q\ &\equiv\ Q\vee P\\ P \wedge Q\ &\equiv Q\wedge P\label{eq:comet} \end{align}

D'autre part, on a les deux équivalences logiques suivantes, qui sont souvent utilisées en ma­thé­ma­ti­ques pour définir les con­nec­teurs d'implication et d'équivalence à partir des trois con­nec­teurs de né­ga­tion, de conjonction et de disjonction : \begin{align}\label{eq:implique} P\Rightarrow Q&\ \equiv\ \neg{P}\vee Q\\ P\Leftrightarrow Q&\ \equiv\ (P\Rightarrow Q) \wedge (Q\Rightarrow P)\label{eq:eq} \end{align}

Nous verrons plus bas que le con­nec­teur d'implication \(\Rightarrow\) n'est pas commutatif, alors que la com­mu­ta­ti­vi­té du con­nec­teur \(\wedge\) entraîne celle du con­nec­teur \(\Leftrightarrow\) d'équivalence.

On peut se demander pourquoi nous n'avons pas étudié d'autres opérateurs que les opé­ra­teurs unaires et bi­nai­res ? Le théorème suivant et son corollaire four­nis­sent une jus­ti­fi­ca­tion.

Soit \(q\) un entier naturel tel que \(q > 2\). Tout con­nec­teur \(q\)-aire peut être défini à l'aide de con­nec­teurs d'arité \(q-1\) et les con­nec­teurs \(\neg\), \(\vee\) et \(\wedge\).
On désigne par \(\Omega\) ce con­nec­teur \(q\)-aire en notation préfixe, et par \(P_1,P_2,\ldots,P_q\) les \(q\) variables pro­po­si­tion­nel­les qu'il connecte. On définit les deux opérateurs \((q-1)\)-aires suivants : \begin{align*} T(P_1,\ldots,P_{q-1})&:=\Omega(P_1,\ldots,P_{q-1},\top)\\ F(P_1,\ldots,P_{q-1})&:=\Omega(P_1,\ldots,P_{q-1},\bot) \end{align*} et on vérifie ai­sé­ment que \begin{equation} \label{eq:conbinenough} \Omega(P_1,\ldots,P_q) \equiv \big(P_q\;{\color{orange}\wedge}\;T(P_1,\ldots,P_{q-1})\big)\;\;{\color{orange}\vee}\;\;\big(\neg P_q\;{\color{orange}\wedge}\; F(P_1,\ldots,P_{q-1})\big). \end{equation} en s'assurant que l'égalité est satisfaite quand \(P=\bot\) et \(P=\top\).

Toute formule est logiquement équivalente à une formule ne con­te­nant que les con­nec­teurs \(\neg\), \(\vee\) et \(\wedge\).
Il suffit de répéter le théorème aux con­nec­teurs nouvellement impliqués dans la formule \((\ref{eq:conbinenough})\).

Nous verrons au chapitre sur le calcul booléen que l'on peut obtenir un résultat plus fort encore et que l'on peut se contenter d'un unique opérateur binaire. Mais le mathématicien savait déjà que l'on pouvait se contenter des trois con­nec­teurs \(\neg\), \(\wedge\) et \(\vee\) pour tout exprimer.

Mentionnons la structure conditionnelle Si \(P\) alors \(Q\) sinon \(R\), bien connue des in­for­ma­ti­ciens, qui dans sa version logique est un con­nec­teur ternaire utilisé couramment. Si \(P=\top\), l'ex­pres­sion a la valeur de \(Q\) et si \(P=\bot\), elle a la valeur de \(R\), ce que l'on peut résumer dans la table de vérité suivante en notant \(\Rrightarrow\) cet opérateur de manière préfixe \(\Rrightarrow(P,Q,R)\) :

\(P\)\(Q\)\(R\)\(\Rrightarrow\)
\(\bot\)\(\bot\)\(\bot\) \(\bot\)
\(\bot\)\(\bot\)\(\top\) \(\top\)
\(\bot\)\(\top\)\(\bot\) \(\bot\)
\(\bot\)\(\top\)\(\top\) \(\top\)
\(\top\)\(\bot\)\(\bot\) \(\bot\)
\(\top\)\(\bot\)\(\top\) \(\bot\)
\(\top\)\(\top\)\(\bot\) \(\top\)
\(\top\)\(\top\)\(\top\) \(\top\)
Le con­nec­teur ternaire Si/Alors/Sinon \(\Rrightarrow.\)

Déduction et connecteur d'implication

Nous allons étudier de plus près le connecteur logique d'implication (\(\then\)) et expliciter son rôle dans les mécanismes déductifs en mathématiques.

Lorsqu'une pro­po­si­tion \(P\then Q\) est vraie, on dit que \(Q\) est une condition né­ces­saire de \(P\) ou que \(P\) est une condition suffisante de \(Q\).

Observons d'un peu plus près sa table de vérité :

\(P\)\(Q\) \(\ P\Rightarrow Q\ \)
FFV
FVV
VFF
VVV
Tables de vérité de l'implication.

Pour s'assurer que la proposition \(\color{#FF8}P\then Q\) est vraie, il suffit de vérifier que si \(P\) est vraie alors \(Q\) n'est pas fausse pour éliminer la troisième interprétation de la table. Dans les \(3\) autres cas, il n'y a rien à faire, cette proposition est toujours vraie. Si la proposition \(\color{#FF8}P\then Q\) est vraie, cela ne nous donne pas d'information sur la valeur de vérité de la proposition \(P\) ni de la proposition \(Q\). En effet \(\color{#FF8}P\then Q\) peut être vraie, que \(P\) (resp. \(Q\)) soit vraie ou fausse. On ne déduit rien de la seule véracité d'une implication.

Plus troublant, la proposition \((0=1)\Rightarrow (3\ \text{est pair})\) est vraie (cependant, si l'on se souvient que \((P\then Q)\equiv(\neg P\vee Q)\), la proposition \((0=1)\Rightarrow (3\ \text{est pair})\) est logiquement équivalente à la proposition \((0\not=1)\vee (3\ \text{est pair})\), ce qui est déjà moins troublant.) Le mot implication dans la langue naturelle induit une relation de cause à effet entre \(P\) et \(Q\) que l'on interprète comme une déduction, ce que ne dit pas l'assertion \(P\Rightarrow Q\). Les con­nec­teurs logiques établissent des liens de corrélation entre les propositions \(P\) et \(Q\) et non des liens de causalité. Il y donc de bonnes raisons de ne pas interpréter le symbole \(\Rightarrow\) comme le mot donc en français.

Ceci nous amène à nous interroger légitimement sur le choix du mot implication pour qualifier ce con­nec­teur logique, puisqu'il a sans conteste un sens déductif en français. Continuons nos investigations.

On peut se convaincre que le con­nec­teur d'implication tel qu'il est défini en logique pro­po­si­tion­nelle est le meilleur choix parmi les 16 con­nec­teurs logiques binaires pour approximer son homologue en langue naturelle. En effet, la valeur de vérité de l'implication \(P\then Q\) ne peut pas dépendre exclusivement de \(P\), ni exclusivement de \(Q\) et le con­nec­teur n'est manifestement pas commutatif, il ne reste alors que les con­nec­teurs \(\diamond_3\), \(\diamond_5\), \(\diamond_{12}\) ou \(\diamond_{14}\) et il ne reste finalement que \(\diamond_{14}\) si l'on admet que si \(P\) est vrai \(P\then Q\) doit avoir la valeur de \(Q.\)

Revenons à la table de vérité de l'implication. On observe que si \(P\then Q\) est vraie et que \(P\) l'est également, alors nécessairement la proposition \(Q\) est vraie. La règle du Modus Ponens ci-dessous décrit le rôle de la pro­po­si­tion \(P\Rightarrow Q\) dans le processus déductif et donne un sens précis aux mots donc ou alors dans le discours ma­thé­ma­ti­que. La déduction logique est symbolisée par le signe \(\vdash\) (ou \(\therefore\)) séparant les prémisses (ou hypothèses) \(P\) et \(P\Rightarrow Q\), du conséquent (ou conclusion) \(Q\).

Soit \(P\) et \(Q\) deux pro­po­si­tion­s. Si \(P\Rightarrow Q\) est vraie et \(P\) est vraie, alors la pro­po­si­tion­ \(Q\) est vraie. On résume ce résultat en écrivant \begin{equation} \label{eq:modusponens} P,\ P\Rightarrow Q\ \vdash\ Q\qquad\text{ou}\qquad \frac{P,\ P\Rightarrow Q}{Q} \end{equation} et que l'on peut lire si \(P\) et \((P\Rightarrow Q)\) alors \(Q\).

Ces notations sont largement utilisées dans l'étude des systèmes de décision, des logiques non clas­si­ques, en théorie de la dé­mons­tra­tion, en intelligence artificielle, etc. On vérifie facilement l'équivalence logique entre les deux propositions suivantes en construisant leurs tables de vérité : \begin{equation} \label{eq:modustollens} P\Rightarrow Q\ \equiv\ \neg Q\Rightarrow \neg P \end{equation} La pro­po­si­tion­ \(\neg Q\Rightarrow \neg P\) est appelée contraposée de la pro­po­si­tion­ \(P\Rightarrow Q\).

Vérifier l'équivalence \((\ref{eq:modustollens})\) sans construire les tables de vérités des deux propositions.
On a \begin{align*} \neg Q\Rightarrow \neg P\ &\equiv\ \neg(\neg Q)\vee \neg P\quad\text{d'après \((\ref{eq:implique})\)}\\ &\equiv\ Q\vee \neg P\quad\text{d'après \((\ref{eq:neg})\)}\\ &\equiv\ \neg P\vee Q\quad\text{d'après \((\ref{eq:comou})\)}\\ &\equiv\ P\Rightarrow Q\quad\text{d'après \((\ref{eq:implique})\)} \end{align*}
Soit \(P\) et \(Q\) deux pro­po­si­tion­s. Si \(P\Rightarrow Q\) est vraie et \(\neg Q\) est vraie, alors la pro­po­si­tion­ \(\neg P\) est vraie. On résume ce résultat en écrivant \begin{equation} \neg Q,\ P\then Q\ \vdash\ \neg P\qquad\text{ou}\qquad \frac{\neg Q,\ P\Rightarrow Q}{\neg P} \end{equation} et que l'on peut lire si \(\neg Q\) et \((P\Rightarrow Q)\) alors \(\neg P\).
Une séquence de déductions logiques permettant d'établir de nouvelles as­ser­tions à partir d'as­ser­tions déjà acquises — initialement les axiomes — s'appelle une dé­mons­tra­tion ou une preu­ve.

Pour vérifier une équi­va­len­ce, d'après la définition \((\ref{eq:eq})\) il faut démontrer les deux imp­li­ca­tions \(P\Rightarrow Q\) et \(Q\Rightarrow P\), autrement dit que \(P\) est une condition nécessaire et suffisante de \(Q\) (ou réciproquement), ce que l'on énonce souvent en disant \(P\) si et seulement si \(Q\).

Il est aisé de vérifier les deux équivalences logiques qui suivent en construisant les tables de vérités des assertions qui les constituent. Ces équivalences sont extrêmement utiles, ce sont les lois de De Morgan.*(*) Augustus De Morgan était un ma­thé­ma­ti­cien bri­tan­ni­que qui vé­cut au 19ème siè­cle.

Soit \(P\) et \(Q\) deux assertions, alors \begin{align}\label{eq:morganou} \neg(P\vee Q)&\ \equiv\ \neg P\wedge\neg Q\\ \label{eq:morganet} \neg(P\wedge Q)&\ \equiv\ \neg P\vee\neg Q\\ \end{align}
Démontrez les lois de De Morgan en construisant les tables de vérité.
Soit \(P\), \(Q\) et \(R\) trois pro­po­si­tion­s. Démontrez que \begin{equation} \big(\Rrightarrow(P,Q,R)\big)\equiv \big((P\wedge Q)\vee(\neg P \wedge R)\big) \end{equation}

La pro­po­si­tion­ \(Q\Rightarrow P\) est appelée implication réciproque de l'implication \(P\Rightarrow Q\). Ce n'est pas sa né­ga­tion, en effet

\begin{align*} \neg(P\Rightarrow Q)\ &\equiv\ \neg(\neg P\vee Q)\quad\text{d'après \((\ref{eq:implique})\)}\\ &\equiv\ (\neg(\neg P))\wedge\neg Q\quad\text{d'après \((\ref{eq:morganou})\)}\\ &\equiv\ P\wedge\neg Q\quad\text{d'après \((\ref{eq:neg})\)}\\ \end{align*}

La pro­po­si­tion \(P\wedge\neg P\) est appelée contradiction ou paradoxe logique. Certaines pro­po­si­tion­s peuvent être toujours vraies (resp. fausses) quelles que soient les interprétations des variables pro­po­si­tion­nel­les qui les composent, on les appelle tautologies (resp. antilogies). Les trois tautologies suivantes sont très utilisées pour construire des démonstrations mathématiques :

La première exprime qu'une proposition et sa négation ne peuvent être vraies toutes les deux, on ne veut pas de paradoxes. Elle permet d'élaborer une stratégie de démonstration dite dé­mons­tra­tion par l'absurde : plutôt que de montrer qu'une pro­po­si­tion \(P\) est vraie, on suppose qu'elle est fausse pour en déduire la contradiction \(P\wedge \neg P\) invalidant l'hypothèse et permettant de conclure que \(P\) est vraie grâce au tiers exclu. Ainsi un inspecteur qui suppose qu'un cambrioleur est passé par une fenêtre et après investigation, ne trouve aucune trace d'effraction sur cette fenêtre, conclura que son hypothèse était absurde et en déduira que le cambrioleur est entré par un autre moyen.

La seconde exprime qu'une pro­po­si­tion­ ou sa négation doit être vraie, autrement dit que l'on exclut une troisième possibilité*.(*) La logique in­tui­tion­nis­te rejette le tiers exc­lu et par conséquent le rai­son­ne­ment par l'ab­sur­de. Notons que la non contradiction et le tiers exclu sont la négation l'une de l'autre d'après les lois de De Morgan \((\ref{eq:morganou})\) et \((\ref{eq:morganet})\). La troisième exprime le fait que c'est l'interprétation de \(Q\) qui fixe la valeur de vérité de la conjonction, quelle que soit l'interprétation de \(P\).

En 2024, à la cour suprême des États-Unis d'Amérique, un procès tout à fait sérieux a opposé un revendeur de drogue au gouvernement au sujet de l'interprétation d'une loi sur les remises de peine. Voici une traduction simplifiée de l'introduction du document fourni en lien à la fin de cette note et expliquant les tenants et les aboutissants du procès :

Après avoir plaidé coupable pour avoir vendu plus de 50g de méthamphétamine, le requérant était confronté à une peine minimale obligatoire de 15 ans de prison. Lors du procès, il a cherché à bénéficier d'une disposition de remise de peine inscrite dans la loi fédérale et qui permet à un tribunal d'ignorer le minimum statutaire si l'accusé remplit certains critères. Parmi ces critères, figure l'exigence que l'accusé n'a pas :

  1. plus de 4 points d'antécédents criminels, excluant tout point d'antécédents criminels résultant d'une infraction d'un point, et
  2. une infraction antérieure de 3 points, et
  3. une infraction violente antérieure de 2 points.

Le gouvernement a soutenu que le requérant ne satisfaisait pas cette exigence car il avait deux infractions antérieures de trois points totalisant six points d'antécédents criminels. Selon le gouvernement, chacune de ces infractions antérieures le disqualifiait en vertu de la condition B et les six points au total le disqualifiaient en vertu de la condition A. Mais le requérant affirmait qu'il restait éligible en soulignant que son casier judiciaire ne comportait pas d'infraction violente de deux points, comme spécifié en C. Et selon lui, seule la combinaison des conditions du texte choisie par le gouvernement l'empêchait d'obtenir cette dispense de peine.

Autrement dit, dans le langage de la logique propositionnelle, le requérant affirmait que l'in­ter­pré­ta­tion du texte de loi par le gouvernement, à savoir la formule \begin{equation}\label{eq:pulsifier} (\neg A)\;{\color{orange}\wedge}\;(\neg B)\;{\color{orange}\wedge}\;(\neg C), \end{equation} l'empêchait de bénéficier de la remise de peine et qu'il fallait en fait l'interpréter par la formule \[ \neg(A\;{\color{orange}\wedge}\;B\;{\color{orange}\wedge}\;C) \] logiquement équivalente d'après les lois de De Morgan à \[ (\neg A)\;{\color{orange}\vee}\;(\neg B)\;{\color{orange}\vee}\;{\color{lightblue}(\neg C)} \] qu'il satisfaisait puisqu'il n'avait pas fait d'infraction violente de 2 points. Le gouvernement américain (qui a gagné malgré tout) a dû argumenter pour établir que le texte ne pou­vait être interprété que par la conjonction \((\ref{eq:pulsifier})\) des trois négations des conditions. Voir Pulsifier v. United States.

Propriétés des con­nec­teurs logiques

En guise de référence rapide, on regroupe ici les propriétés les plus importantes des con­nec­teurs lo­gi­ques. Soit \(P\), \(Q\) et \(R\) des pro­po­si­tions. Alors
  1. Commutativité de \(\wedge\) et \(\vee\). \begin{align*} (P\wedge Q)&\equiv (Q\wedge P) & (P\vee Q)&\equiv (Q\vee P). \end{align*}
  2. Associativité de \(\wedge\) et \(\vee\). \begin{align*} ((P\wedge Q)\wedge R)&\equiv (P\wedge(Q\wedge R)), & ((P\vee Q)\vee R)&\equiv (P\vee(Q\vee R)). \end{align*}
  3. Idempotence de \(\wedge\) et \(\vee\). \begin{align*} (P\wedge P)&\equiv P, & (P\vee P)&\equiv P. \end{align*}
  4. Lois de De Morgan. \begin{align*} \neg(P\wedge Q)&\equiv (\neg P\vee\neg Q) & \neg(P\vee Q)&\equiv (\neg P\wedge\neg Q) \end{align*}
  5. Distributivité de \(\wedge\) sur \(\vee\) et de \(\vee\) sur \(\wedge\). \begin{align*} (P\wedge(Q\vee R))&\equiv ((P\wedge Q)\vee (P\wedge R)) & (P\vee(Q\wedge R))&\equiv ((P\vee Q)\wedge (P\vee R)) \end{align*}
  6. Absorption. \begin{align*} (P\wedge(P\vee Q))&\equiv P & (P\vee(P\wedge Q))&\equiv P \end{align*}
  7. La conjonction et la disjonction avec les constantes \(V\) et \(F\). \begin{align*} (P\vee V)&\equiv V & (P\wedge V)&\equiv P & (P\vee F)&\equiv P & (P\wedge F)&\equiv F \end{align*}
  8. Transitivité de l'implication. \begin{align*} ((P\then Q)\wedge(Q\then R))\then(P\then R). \end{align*}
Un mathématicien discute avec un ami logicien qui lui annonce que sa femme vient d'ac­cou­cher. Le mathématicien lui demande s'il a eu un garçon ou une fille et le logicien lui répond oui. Expliquez la réponse du logicien.
Démontrez que le con­nec­teur \(\oplus\) est commutatif et associatif. Parmi les autres con­nec­teurs bi­nai­res, lesquels sont commutatifs ?
Soit \(P\), \(Q\) et \(R\) des pro­po­si­tion­s. Démontrez la transitivité de l'implication à l'aide d'une table de vérité : \begin{equation} \big((P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow R)\big)\ \Rightarrow (P\Rightarrow R) \end{equation}
Soit \(P\) et \(Q\) deux variables pro­po­si­tion­nelles. Démontrez que \[(P\oplus Q)\equiv(P\vee Q)\wedge\neg(P\wedge Q) \]
Un con­nec­teur logique binaire \(\diamond\) est dit associatif si pour toutes pro­po­si­tion­s \(P\), \(Q\) et \(R\) on a \[(P\,\diamond\, Q)\,\diamond\, R\ \equiv\ P\,\diamond\, (Q\,\diamond\, R).\] Démontrez que la conjonction, la disjonction et l'équivalence sont des con­nec­teurs logiques associatifs mais que l'implication n'est pas associative.
Soit \(P\), \(Q\) et \(R\) trois pro­po­si­tion­s. Démontrez que \[(P\wedge Q)\Rightarrow R\ \equiv\ P\Rightarrow (Q\Rightarrow R)\]
Soit \(P\) et \(Q\) deux pro­po­si­tion­s. Démontrez que \[(P\iff Q) \equiv\ (P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge\neg Q)\]

Formalisation des problèmes et raisonnement

Les robots

Nous pouvons à présent étudier le problème de robots que nous avons présenté en introduction. On rappelle qu'un robot en bon état (resp. défectueux), fait toujours un bon (resp. mauvais) diagnostic et que les trois robots font les affirmations suivantes :

bax et arg sont dans le même état.
bax est défectueux.
xam et arg sont en bon état.
🤖 🤖 🤖
xam arg bax

On introduit les variables pro­po­si­tion­nelles \(\color{#FF8}X\), \(\color{#F44}B\) et \(\color{#88F}A\) définies par

Si l'on observe la table de vérité du con­nec­teur d'équivalence \(\iff\), on note que \(P\iff Q\) est vrai si et seulement si les deux variables \(P\) et \(Q\) ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire si les deux sont vraies ou si les deux sont fausses (on en déduit au passage que \((P\iff Q)\equiv(P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge\neg Q)\)). On formalise alors les pro­po­si­tions de xam, arg et bax respectivement par :

  1. \({\color{#FF8}P_X}:\) \((A\iff B)\),
  2. \({\color{#F44}P_A}:\) \(\neg B\),
  3. \({\color{#88F}P_B}:\) \((X\wedge A)\).

Il faut également traduire l'hypothèse qui dit qu'un robot en bon état fait toujours un bon diagnostic et qu'un robot défectueux fait toujours un mauvais diagnostic. Autrement dit, les pro­po­si­tions \(X\) (resp. \(A\) et \(B\)) et \(P_X\) (resp. \(P_A\) et \(P_B\)) ont la même valeur de vérité, ce qui se traduit par la formule \begin{equation} \label{formrobot} {\mathscr F}:=({\color{#FF8}P_X}\iff {\color{#FF8}X})\wedge({\color{#F44}P_A}\iff {\color{#F44}A})\wedge({\color{#88F}P_B}\iff {\color{#88F}B}). \end{equation}

On construit ensuite la table de vérité des trois pro­po­si­tions \({\color{#FF8}P_X}\), \({\color{#F44}P_A}\) et \({\color{#88F}P_B}\) ainsi que celle de la formule \(\mathscr F\) :

\({\color{#FF8}P_X}\)\({\color{#F44}P_A}\)\({\color{#88F}P_B}\)
\(\color{#FF8}X\)\(\color{#F44}A\)\(\color{#88F}B\)\({\color{#FF8}(A\iff B)}\)\({\color{#F44}\neg B}\)\({\color{#88F}(X\wedge A)}\)\(\mathscr F\)
1FFFVVFF
2FFVFFFF
3FVFFVFV
4FVVVFFF
5VFFVVFF
6VFVFFFF
7VVFFVVF
8VVVVFVF
Table de vérité de la formule \(\mathscr F\).

Comme on peut le constater, seule l'interprétation #3 satisfait la formule \((\ref{formrobot})\), il faut donc réparer xam et bax.

Le logicien amoureux

Traitons un deuxième exemple. On interroge un logicien, qui dit toujours la vérité, sur sa vie sen­ti­men­ta­le et il affirme :

On peut traduire ces deux as­ser­tions en formules pro­po­si­tion­nelles. Pour cela on définit les variables pro­po­si­tion­nel­les \(A\) et \(M\) qui sont interprétées de la manière suivante :

La pro­po­si­tion (a) se traduit par \(M\vee A\) et la pro­po­si­tion (b) par \(M\then A\). On construit leurs tables de vérité :

\(A\)\(M\)\(M\vee A\)\(M\then A\)
FFF \(V\)
F\(V\)\(V\) F
\(V\)F\(V\) \(V\)
\(V\)\(V\)\(V\) \(V\)
Table de vérité des pro­po­si­tions de l'énigme du logicien.

Les deux dernières lignes de cette table de vérité (les seules qui assurent que les assertions du logicien sont vraies) montrent que le logicien aime nécessairement Anne mais on ne sait rien de plus au sujet de la nature de sa relation avec Marie. Il nous faut donc un complément d'information pour conclure. À la question Est-il vrai que si vous aimez Marie, alors vous aimez Anne ?, le logicien répond*Notez que cette de­man­de de con­fir­ma­tion de (b) était en soi inu­ti­le puis­que le lo­gi­cien dit tou­jours la vé­ri­té.

Si on traduit ces deux dernières affirmations en pro­po­si­tions, on obtient \((M\then A)\then M\) pour (c) et \(M \then (M\then A)\) pour (d) et on reconnaît là l'équivalence \((M\then A)\iff M\) que l'on rajoute dans la table de vérité. Cette fois il ne reste qu'une seule interprétation pro­po­si­tion­nelle de \(A\) et \(M\) qui assure la vérité des trois pro­po­si­tions, celle où le logicien aime les deux femmes :

\(A\)\(M\)\(M\vee A\) \(M\then A\)\((M\then A)\iff M\)
FFF \(V\)F
F\(V\)\(V\) FF
\(V\)F\(V\) \(V\)F
\(V\)\(V\)\(V\) \(V\)\(V\)

Les différentes affirmations du logicien ont donc été traduites sous formes de pro­po­si­tions et nous avons cherché les interprétations \(I\) des différentes variables assurant que leur conjonction était vraie, ici \(I(A)=V\) et \(I(M)=V\).

Les tee-shirts

Étudions le problème suivant : trois frères Alvin, Bob et Clive sont d'âges différents et portent des tee-shirts de couleurs différentes rouge, vert ou jaune. On dispose de deux indices :

  1. (a) Celui qui porte le tee-shirt rouge ne porte pas de lunettes et c'est le plus jeune,
  2. (b) Alvin porte des lunettes et Bob est plus vieux que celui qui porte le tee-shirt vert.
On cherche à déduire de ces indices le maximum d'information pour chacun des frères, à savoir sa position dans la fratrie, la couleur de son tee-shirt et s'il porte ou non des lunettes.

Phase 1. Certains éléments de l'énoncé sont des attributs (porter des lunettes, porter un tee-shirt d'une certaine couleur, être le benjamin) et sont satisfaits ou non par chaque frère, il est naturel d'en faire des variables pro­po­si­tion­nel­les :

  1. \(A_{\color{#F44}R}\) (resp. \(B_{\color{#F44}R}\), \(C_{\color{#F44}R}\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) porte un tee-shirt rouge,
  2. \(A_{\color{#0A0}V}\) (resp. \(B_{\color{#0A0}V}\), \(C_{\color{#0A0}V}\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) porte un tee-shirt vert,
  3. \(A_{\color{#FF8}J}\) (resp. \(B_{\color{#FF8}J}\), \(C_{\color{#FF8}J}\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) porte un tee-shirt jaune,
  4. \(A_L\) (resp. \(B_L\), \(C_L\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) porte des lunettes,
  5. \(A_A\) (resp. \(B_A\), \(C_A\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) est l'aîné,
  6. \(A_B\) (resp. \(B_B\), \(C_B\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) est le benjamin,
  7. \(A_C\) (resp. \(B_C\), \(B_C\)) code Alvin (resp. Bob, Calvin) est le cadet.

On dispose donc de \(21\) variables pro­po­si­tion­nelles. Avant même d'utiliser les indices, il faut for­ma­li­ser un certain nombre de contraintes implicites. Chacun des trois frères doit porter un unique tee-shirt. Ceci se traduit par le fait qu'ils doivent porter un tee-shirt rouge ou vert ou jaune et qu'ils ne doivent pas en porter deux simultanément, soit res­pec­ti­ve­ment les six formules suivantes :

\begin{align} &(A_{\color{#F44}R}\vee A_{\color{#0A0}V} \vee A_{\color{#FF8}J}),\\ &\neg(A_{\color{#F44}R}\wedge A_{\color{#0A0}V}) \wedge \neg(A_{\color{#F44}R}\wedge A_{\color{#FF8}J}) \wedge \neg(A_{\color{#0A0}V}\wedge A_{\color{#FF8}J}),\\ &(B_{\color{#F44}R}\vee B_{\color{#0A0}V} \vee B_{\color{#FF8}J}),\\ &\neg(B_{\color{#F44}R}\wedge B_{\color{#0A0}V}) \wedge \neg(B_{\color{#F44}R}\wedge B_{\color{#FF8}J}) \wedge \neg(B_{\color{#0A0}V}\wedge B_{\color{#FF8}J}),\\ &(C_{\color{#F44}R}\vee C_{\color{#0A0}V} \vee C_{\color{#FF8}J}),\\ &\neg(C_{\color{#F44}R}\wedge C_{\color{#0A0}V}) \wedge \neg(C_{\color{#F44}R}\wedge C_{\color{#FF8}J}) \wedge \neg(C_{\color{#0A0}V}\wedge C_{\color{#FF8}J}).\\ \end{align}

Mais deux frères ne peuvent pas porter le même tee-shirt : \begin{align} &\neg(A_{\color{#F44}R}\wedge B_{\color{#F44}R})\wedge \neg(A_{\color{#F44}R}\wedge C_{\color{#F44}R})\wedge \neg(B_{\color{#F44}R}\wedge C_{\color{#F44}R}),\\ &\neg(A_{\color{#0A0}V}\wedge B_{\color{#0A0}V})\wedge \neg(A_{\color{#0A0}V}\wedge C_{\color{#0A0}V})\wedge \neg(B_{\color{#0A0}V}\wedge C_{\color{#0A0}V}),\\ &\neg(A_{\color{#FF8}J}\wedge B_{\color{#FF8}J})\wedge \neg(A_{\color{#FF8}J}\wedge C_{\color{#FF8}J})\wedge \neg(B_{\color{#FF8}J}\wedge C_{\color{#FF8}J}). \end{align}

Chacun des trois frères doit avoir une unique position dans la fratrie :

\begin{align} &(A_A\vee A_B\vee A_C),\\ &\neg(A_A\wedge A_B)\wedge \neg(A_A\wedge A_C)\wedge\neg(A_B\wedge A_C),\\ &(B_A\vee B_B\vee B_C),\\ &\neg(B_A\wedge B_B)\wedge \neg(B_A\wedge B_C)\wedge\neg(B_B\wedge B_C),\\ &(C_A\vee C_B\vee C_C),\\ &\neg(C_A\wedge C_B)\wedge \neg(C_A\wedge C_C)\wedge\neg(C_B\wedge C_C). \end{align}

Et deux frères ne peuvent être à la même position dans la fratrie :

\begin{align} &\neg(A_A\wedge B_A)\wedge\neg(A_A\wedge C_A)\wedge\neg(B_A\wedge C_A),\\ &\neg(A_B\wedge B_B)\wedge\neg(A_B\wedge C_B)\wedge\neg(B_B\wedge C_B),\\ &\neg(A_C\wedge B_C)\wedge\neg(A_C\wedge C_C)\wedge\neg(B_C\wedge C_C). \end{align}

Phase 2. On formalise maintenant les deux indices du problème avec des formules pro­po­si­tion­nel­les. L'indice (a) nous donne :

\begin{align} A_{\color{#F44}R}&\then (\neg A_L\wedge A_B),\\ B_{\color{#F44}R}&\then (\neg B_L\wedge B_B),\\ C_{\color{#F44}R}&\then (\neg C_L\wedge C_B). \end{align}

L'indice (b) est plus délicat à formaliser. Alvin porte des lu­net­tes impose \(I(A_L):=V\) pour la fonc­tion d'interprétation \(I\) que l'on doit précisément déterminer. C'est la seconde affirmation Bob est plus vieux que celui qui porte le tee-shirt vert. qui demande un peu de réflexion puisqu'il faut l'exprimer uniquement avec les variables dont on dispose. Si Alvin est le benjamin et qu'il porte un tee-shirt vert, alors Bob est soit le cadet soit l'aîné. Si Alvin est le cadet et porte le tee-shirt vert, Bob est nécessairement l'aîné, etc.

\begin{align} &(A_{\color{#0A0}V}\wedge A_B)\then (B_A\vee B_C),\\ &(A_{\color{#0A0}V}\wedge A_C)\then B_A,\\ &(C_{\color{#0A0}V}\wedge C_B)\then (B_A\vee B_C),\\ &(C_{\color{#0A0}V}\wedge C_C)\then B_A. \end{align}

Phase 3. Nous sommes face à un total de \(25\) pro­po­si­tions à satisfaire et il reste \(20\) variables à définir puisque nous savons que la variable \(A_L\) doit être vraie. Construire la table de vérité de la conjonction de ces \(25\) pro­po­si­tions n'est pas envisageable à la main, il y a plus d'un million de combinaisons possibles des \(20\) variables pro­po­si­tion­nel­les, mais se programme aisément. Il faut réaliser que l'augmentation du nombre de variables pro­po­si­tion­nelles limite drastiquement la portée de la méthode consistant à construire la table de vérité. Le cours de théorie de la complexité de master montrera que chercher une interprétation qui satisfait un ensemble arbitraire de pro­po­si­tions logiques est un problème que l'on pense ne jamais pouvoir résoudre efficacement*(*) On connaît d'ex­cel­len­tes heu­ris­ti­ques ce­pen­dant..

On peut tenter une approche moins mécanique. Notons \({\color{#F44}R},{\color{#0A0}V},{\color{#FF8}J}\) les trois couleurs, \(B,C,A\) les trois statuts (Benjamin, Cadet, Aîné) dans la fratrie et \(L\) le statut de porteur de lunettes. On rappelle les deux indices :

  1. (a) Celui qui porte le tee-shirt rouge ne porte pas de lunettes et c'est le plus jeune,
  2. (b) Alvin porte des lunettes et Bob est plus vieux que celui qui porte le tee-shirt vert.
D'après (a) on a \({\color{#F44}R}\then B\), mais il n'y a qu'une couleur possible par statut, le statut de benjamin ne peut donc être associé à aucune autre couleur, d'où \({\color{#F44}R}\iff B\). Il reste donc les couleurs \({\color{#0A0}V}\) et \({\color{#FF8}J}\) pour le cadet et l'aîné. Mais Bob étant plus vieux que celui qui porte le tee-shirt vert d'après (b), il est donc l'aîné des trois frères et porte le tee-shirt jaune. D'autre part, puisqu'Alvin porte des lunettes, il ne peut porter le tee-shirt rouge (d'après (a)), \({\color{#F44}R}\then \neg L\) soit par contraposition \(L\then \neg {\color{#F44}R},\) il porte donc le tee-shirt vert et c'est le cadet. Résumons :
  1. Alvin est le cadet, porte des lunettes et le tee-shirt vert,
  2. Bob est l'aîné et porte le tee-shirt jaune.

On en déduit évidemment que Calvin est le benjamin et qu'il porte le tee-shirt rouge. Il nous reste à savoir qui porte des lunettes. On sait qu'Alvin en porte et que Calvin ne peut en porter puisqu'il porte le tee-shirt rouge. Pour Bob, on ne sait pas, il peut porter des lunettes ou non. Finalement :

Calvin ¬👓 < Alvin 👓 < Bob 👓?
L'avantage décisif de cette démarche par rapport à la première ap­pro­che est que l'on a développé une stratégie qui nous a évité un grand nombre de cal­culs inutiles, à la manière d'un joueur d'échec qui cherche son chemin dans les méandres des combinaisons de coups possibles. Cependant, il faut comprendre que ceci n'a été possible que parce que le problème est très simple et que nous avons construit une stratégie spécifique pour traiter cette instance. Il suffirait de rajouter quelques éléments à cette énigme pour rendre le problème totalement inextricable pour un être humain.

Limites de la logique pro­po­si­tionnelle

De manière générale, un énoncé peut très bien aboutir à la formalisation d'une pro­po­si­tion avec plusieurs in­ter­pré­ta­tions valides (si elles le sont toutes, c'est une tautologie) ou au­cu­ne (antilogie). Ceci justifie la définition suivante :

Une formule pro­po­si­tion­nelle est dite satisfaisable s'il existe une interprétation de cette formule qui soit vraie. Dans le cas contraire, elle est dite insatisfaisable.

On utilise la même terminologie pour un ensemble de formules mais dans ce cas il faut que leur con­jonc­tion (qui est une nouvelle formule) soit satisfaisable.

Déterminer si une formule est satisfaisable est un problème extrêmement difficile. Les scientifiques pensent, dans leur grande majorité, qu'aucun moy­en efficace ne permet d'y répondre (cette question sera abordée en détail en master.) On peut, bien sûr, construire la table de vérité de la formule pour faire cette vérification, mais c'est un travail qui devient littéralement infaisable, même pour un ordinateur, dès qu'il y a plus de quelques dizaines de variables pro­po­si­tion­nelles dans la formule.

Supposons qu'un ordinateur soit capable d'évaluer la valeur logique d'une formule pro­po­si­tion­nelle pour une interprétation donnée en \(10^{-9}\) secondes, autrement dit qu'il est capable de remplir un milliard de lignes de la table de vérité de cette formule en une seconde. Si la formule contient \(50\) variables pro­po­si­tion­nelles, combien de temps faut-il à la machine pour déterminer si elle est satisfaisable ou non ?
Des algorithmes efficaces en pratique existent pour vérifier qu'une formule est satisfaisable. Ce n'est pas contradictoire, la satisfaisabilité ou non-satisfaisabilité d'une formule n'est pas toujours difficile à établir, cela dépend de la formule et s'il y a peu de formules difficiles…

Les exemples de formalisation que nous venons de traiter illustrent les limites de la logique pro­po­si­tion­nel­le. Son manque d'expressivité nous a contraint à créer un grand nombre de variables pour décrire les différents cas et l'exercice ci-dessus montre que faute de stra­té­gies, il peut être difficile d'automatiser la résolution de problèmes logiques. D'autre part, nombre d'énoncés et de raisonnements logiques en langue naturelle ne sont pas trans­po­sab­les en formules de la logique propositionnelle, par exemple Tout étudiant·e en licence d'in­for­ma­ti­que suit le cours de mathématiques, Alice est étudiante en licence d'in­for­ma­ti­que donc Alice suit le cours de mathématiques.

Mais, pire encore, que se passerait-il si une énigme faisait référence à des entiers naturels ? Par exemple, au lieu d'invoquer les couleurs des tee-shirts d'Alvin, Bob et Clive, on invoquait dans un énoncé un code secret qui serait un nombre (de taille arbitraire) ? Manipuler un très grand nombre de variables pro­po­si­tionnelle voire une infinité de variables pro­po­si­tion­nel­les n'est envisageable ni pour humain, ni pour une machine. Il faut pouvoir décrire une infinité de situations à l'aide d'une description finie. L'apport du calcul des prédicats permet aussi de formaliser des situations finies de manière bien plus concise, on exprimera par exemple qu'une partie \(X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\) de \(\N\) ne contient que des entiers pairs par la phrase \[ \forall x\in X\ \ \exists k\in\N\ \ x=2\, k. \] plutôt que par l'ensemble des \(n\) pro­po­si­tions suivantes : \[ x_1\ \text{est pair},\ x_2\ \text{est pair},\ x_3\ \text{est pair},\ldots,\ x_n\ \text{est pair}. \]

Le prochain chapitre est consacré à l'étude de la logique des prédicats dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (abrégée en théorie zf).

Calculez les négations des pro­po­si­tions suivantes :
  1. \(P\then(Q\then R)\),
  2. \(\neg P\then Q\),
  3. \((P\wedge Q)\vee R\).
Soit \(P,Q\) et \(R\) trois variables pro­po­si­tion­nelles et \(\def\FF{{\mathscr F}}\FF\) la formule pro­po­si­tion­nelle définie par \[\big((P\vee Q)\vee R\big)\then (P\wedge Q).\]
  1. Donner la valeur logique (valuation) de la formule \(\FF\) dans les cas suivants :
    1. Les variables \(P\) et \(Q\) prennent la valeur logique \(V\), la variable \(R\) prend la valeur logique \(F\).
    2. Les variables \(P\) et \(Q\) prennent la valeur logique \(F\), la variable \(R\) prend la valeur logique \(V\).
  2. Montrer que \(\FF\) est logiquement équivalente à \[(P\vee \neg Q) \wedge (P\vee \neg R) \wedge (Q \vee \neg P) \wedge (Q \vee \neg R).\]
Dans une brasserie vous commandez un sandwich au jambon ou un sandwich au pâté et un verre de bière. Le garçon vous écoute distraitement car il est occupé.
  1. Dans un premier temps il est sûr de la place du ou et du et mais il hésite sur la place des parenthèses.
    1. Ecrivez pour chacune des commandes possibles la formule pro­po­si­tion­nelle correspondante.
    2. Pour être sûr de contenter le client, il doit satisfaire à la fois les deux commandes possibles. Écrivez la formule pro­po­si­tion­nelle correspondante. Montrez à l'aide d'une table de vérité que cette dernière est logiquement équivalente à apporter (un sandwich au jambon ou un sandwich au pâté) et un verre de bière.
  2. Dans un second temps le garçon hésite aussi sur la place du et et du ou.
    1. Refaites dans ce cas le (1a), puis le (1b) en utilisant les équivalences logiques.
    2. Montrez que dans ce cas il peut se contenter d'apporter un sandwich au jambon et -un sandwich au pâté ou un verre de bière).
  3. Que doit-il apporter au minimum pour satisfaire le client et répondre à toutes ses hésitations ?
Soit \(P,Q,R\) des variables pro­po­si­tion­nelles,
  1. La pro­po­si­tion \(\big((P\vee Q)\wedge (\neg P \vee R)\big)\then (Q\vee R)\) est-elle une tautologie ?
  2. On considère les trois variables pro­po­si­tion­nelles \(E\), \(R\) et \(S\) qui modélise les évè­ne­ments
    • \(E\) : Il y a un examen,
    • \(R\) : Alexis révise ses cours,
    • \(S\) : Alexis échoue.
    On note respectivement \(P\), \(Q\) et \(R\) les trois assertions suivantes :
    • \(P:\) S'il y a un examen, alors Alexis révise ses cours,
    • \(Q:\) Si Alexis révise ses cours, alors Alexis n'échoue pas,
    • \(R:\) S'il n'y a pas d'examen, alors Alexis n'échoue pas.
    1. Écrivez \(P\), \(Q\) et \(R\) sous forme de formules pro­po­si­tion­nelles logiques.
    2. Transformez \(P\), \(Q\) et \(R\) en pro­po­si­tions \(P'\), \(Q'\) et \(R'\) ne contenant que des disjonctions \(\vee\) et des négations \(\neg\),
    3. En utilisant la question (1), trouvez une pro­po­si­tion \(S\) telle que la pro­po­si­tion \((P'\wedge Q)\then S\) soit une tautologie,
    4. En utilisant la question (1), trouvez une pro­po­si­tion \(T\) telle que la pro­po­si­tion \((R'\wedge S)\then T\) soit une tautologie.
    5. Que peut-on déduire de la réussite d'Alexis à l'examen ?
L'inspecteur Lafrite interroge les suspects. Trois suspects ont été arrêtés à la suite du cambriolage de la villa de Monsieur Futay; ce sont Bradacié, Piedplat et Nécassé. Ces trois personnages sont bien connus de Lafrite pour le caractère très aléatoire de leurs affirmations :
  1. Bradacié : Piedplat est coupable et Nécassé est innocent,
  2. Piedplat : Si Bradacié est coupable, alors Nécassé l'est aussi,
  3. Nécassé : Je suis innocent mais l'un au moins des deux autres est coupable.
La réputation de l'inspecteur Lafrite serait passablement écornée s'il n'était pas en mesure de trouver la vérité. Il se doit donc d'envisager plusieurs possibilités, et c'est ce qu'il fait avant de se coucher : Pouvez-vous aider l'inspecteur Lafrite à répondre à ces questions ? Indication : les variables pro­po­si­tion­nel­les \(B\), \(P\) et \(N\) représentent les trois suspects avec la convention que la valeur de vérité V code l'innocence et F la culpabilité. Formaliser les déclarations de chacun des suspects et la validité de ces affirmations avec une table de vérité. Répondre à toutes les questions de l'inspecteur Lafrite.
Soit \(P,Q,R\) et \(S\) des variables pro­po­si­tion­nelles. Vérifier que
  1. \(\neg \big(((P\wedge Q)\vee P)\vee R)\vee S\big)\equiv \big((\neg P\wedge \neg R)\wedge \neg S\big)\)
  2. \(\neg\big(P\then (Q\then R)\big)\equiv \big((P\wedge Q)\wedge \neg R\big)\)
Formalisez les affirmations suivantes en logique pro­po­si­tion­nelle :
  1. (a) Bob a déchiffré le message d'Alice ou Alice est inquiète,
  2. (b) Bob a déchiffré le message d'Alice et Alice n'est pas inquiète,
  3. (c) Bob n'a pas déchiffré le message d'Alice et Alice est inquiète,
  4. (d) Bob n'a pas déchiffré le message d'Alice ou Alice n'est pas inquiète,
  5. (e) Si Bob a déchiffré le message d'Alice alors Alice n'est pas inquiète,
  6. (f) Bob n'a pas déchiffré le message d'Alice si Alice est inquiète.

Travaux pratiques

En séance

Écrivez une fonction Inter(nbvar) qui renvoie le tuple constitué de toutes les interprétations possibles de nbvar variables propositionnelles.

Exemple : l'appel Inter(2) doit renvoyer le tuple

((False,False),(False,True),(True,False),(True,True))

Une formule propositionnelle FP de \(n\) variables est codée par une chaîne de caractères respectant la syntaxe du Python, les variables étant toujours codées V[0], V[1],… ,V[n-1]. Écrivez une fonction TV(FP,n) qui renvoie la table de vérité de la formule FP sous forme de tuple de tuples à l'aide de la fonction Inter et la fonction d'évaluation eval(chaine) du Python qui évalue une chaine de caractères si elle respecte la syntaxe du langage Python.

Exemple. Avec la chaîne de caractère FP = "V[0] and V[1]", l'appel de la fonction TV(FP,2) doit renvoyer le tuple

((False,False,False),(False,True,False),(True,False,False),(True,True,True))

Indication : la fonction Inter(nbvar) génère les \(\color{#FF8}2^\textsf{nbvar}\) interprétations possibles des variables V[i] et pour chacune d'entre elles, il suffit d'évaluer l'expression FP.
Écrivez une fonction Satisfaisable(FP,n) qui renvoie la liste des interprétations des n variables propositionnelles qui satisfont la formule passée en paramètre.

Exemple : pour la formule "V[0] and V[1]", la fonction doit renvoyer la liste

[(True,True)]