Loi normale. La courbe est recentrée en \(\mu\) et subit un changement d'échelle des abscisses pour l'affichage.
Calculez l'espérance et la variance d'une loi normale de paramètres \(\mu\) et \(\sigma\).
Loi conjointe, loi marginale, probabilité conditionnelle
Les notions de lois conjointes et marginales se généralisent dans le cas où les v.a. \(X\) et \(Y\) sont continues, la fonction de masse est remplacée par une loi densité de probabilité conjointe \(f_{X,Y}\) qui doit satisfaire :
\begin{equation}
\int_{\R^2}f_{X,Y}(x,y)\;\d{x}\,\d{y} = 1
\end{equation}
Et on a alors
\begin{equation}
\prob(a\leqslant X\leqslant b,c\leqslant Y\leqslant d)=\int_{a}^{b}\!\!\!\int_{c}^{d}f_{X,Y}\;\d{x}\,\d{y}.
\end{equation}
On retrouve les lois marginales :
\begin{align*}
f_X(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\,\d{y},\\
f_Y(y)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\,\d{x}.
\end{align*}
Si \(f_X(x) \gt 0\), la densité conditionnelle de \(Y\) sachant \(X=x\) et la densité conditionnelle de \(X\) sachant \(Y=y\) respectivement par
\begin{align*}
f_{Y|X}(y|x)&= \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)},\\
f_{X|Y}(x|y)&= \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(x)}.
\end{align*}
On retrouve naturellement la notion d'indépendance de deux v.a. continues \(X\) et \(Y\) :
\begin{equation*}
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y).
\end{equation*}
Dans le cas où les v.a. \(X\) et \(Y\) sont discrètes, on peut écrire
\[
\prob(X=x\such Y=y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}
\]
ce que l'on ne peut pas transposer directement dans le cas continu puisque la probabilité d'un évènement élémentaire \(\prob(Y=y)\) est toujours nulle. On passe alors par la loi de densité de \(X\) pour calculer la probabilité d'un évènement \(A\) :
\begin{equation*}
\prob(A\such Y=y):=\int_Af_{X|Y}(x|y)\,\d{x}.
\end{equation*}
et on peut alors calculer
\begin{equation}
\prob(A)
=\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\!\prob(A\such Y=y)f_Y(y)\,\d{y}
=\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\!\int_Af_{X|Y}(x|y)\,f_Y(y)\;\d{x}\,\d{y}.
\end{equation}
Application à la galette des rois
Problème
On se propose d'étudier la probabilité de couper une fève dans une galette des rois circulaire coupée en parts égales. Une modélisation fidèle à l'expérience réelle serait particulièrement ardue, on en donnera une version simplifiée.
Une vraie fève en forme de haricot devrait être modélisée par un volume correspondant. Il faudrait alors étudier le secteur délimité par les deux tangentes à sa projection dans le plan de la galette, ce qui dépend à la fois de la distance de la fève au centre, mais également de l'orientation de la fève dans l'espace. Il faudrait également intégrer l'imprécision de la coupe, en effet, il est difficile de faire partir la pointe du couteau du centre réel* au sens de \(\R\) et de couper le long d'une droite du plan euclidien.
Modélisation géométrique
On suppose que la galette et la fève sont des disques de rayons respectifs \(1\) et \(r\in\;]0,\frac{1}{2}]\). On place un repère orthonormé de manière à ce que la galette soit centrée en \(O=(0,0)\) et que le centre \(F=(x,0)\) de la fève soit situé sur l'axe des abscisses à distance \(x\) de \(O\).
On cherche donc à calculer la probabilité de rencontrer la fève en coupant la galette en \(p\geqslant 2\) parts égales, chaque coupe traçant un rayon du disque. Pour rencontrer la fève, le couteau doit donc couper le secteur circulaire \(S\) délimité par le centre \(O\) de la galette et les deux rayons tangents à la fève. On note \(\theta(x)\) l'angle de l'arc formé par ces deux tangentes à la fève.
L'animation ci-dessous illustre le rôle des différentes variables impliquées dans la résolution de ce problème et les résultats des calculs menés plus loin sont résumés sous le graphique :
Calcul de la probabilité
Une tangente à la fève passant par \(O\) est perpendiculaire au rayon \([FT]\) de la fève où \(T\) est le point tangent. Le triangle \(OTF\) est donc rectangle en \(T\). Il a pour hypothénuse \(x\) et le côté opposé à l'angle \(\frac{\theta(x)}{2}\) a pour longueur \(r=x\sin\left(\theta(x)/2\right)\), d'où
\begin{equation}
\boxed{\theta(x)=2\,\arcsin\left(r/x\right)}
\end{equation}
Pour ne pas couper la fève à coup sûr, le secteur rouge d'angle \(\theta(x)\) doit être inscrit dans celui formé par une part de galette d'angle \(2\pi/p\). Il faut donc que \(2\arcsin\left(r/x\right) \lt 2\pi/p\), ce qui entraîne \(x\gt r / \sin\left(\pi/p\right)\). On pose
\begin{equation}
\label{eq:dmin}
\boxed{d=r/\sin\left(\pi/p\right)}
\end{equation}
Pour que l'évènement couper la fève ne soit pas certain, il est donc nécessaire que \(x \gt d\).
L'expérience consiste donc à jeter au hasard une fève de rayon \(r\) dans la galette de rayon \(1\), puis à couper la galette au hasard en \(p\) parts égales. On définit la variable aléatoire \(X:\Omega\;\rg\;[0,1-r]\) par \(X(\omega)=x\). Une fois la position \(x\) de la fève fixée, c'est l'angle que fait le couteau qui détermine si la coupe ou l'une des \(p-1\) autres, traverse ou non le secteur \(\color{red}S\). Ainsi, la probabilité de l'évènement couper la fève sachant \(x\) est égale au rapport des longueurs des arcs formant le secteur et la part :
\begin{equation*}
\frac{\color{red}\theta(x)}{\color{lightgreen}2\left(\pi/p\right)}.
\end{equation*}
On a donc
\begin{equation}
\prob(C\such x > d, X=x)=\frac{p\,\arcsin\left(r/x\right)}{\pi}.
\end{equation}
Nous avons vu précédemment que \(\prob(C\such X\leqslant d)=1\), par conséquent
\begin{equation}
\boxed{\prob(C\such X=x)=\indic{[0,d]}(x)+\left(\frac{p\,\arcsin\left(r/x\right)}{\pi}\right)\indic{[d,1-r]}(x)}
\end{equation}
Jeter la fève au hasard signifie que son centre \(F\) se retrouve sur un rayon du disque modélisant la galette, à une distance \(x\) du centre \(O\) comprise entre \(0\) et \(1-r\). La probabilité de trouver \(F\) dans une zone arbitraire du disque de rayon \(1-r\) ne dépend manifestement que de la surface de cette zone et pas de la zone elle même. D'autre part, la probabilité que \(F\) soit à une distance \(x\) du centre \(O\) est proportionnelle à la circonférence du cercle de rayon \(x\). Ainsi la loi de densité de la v.a. \(X\) satisfait :
\begin{equation*}
f_X(x)\;\propto\; 2\,\pi\,x.
\end{equation*}
Pour qu'elle soit de densité totale \(1\) sur le disque de rayon \(1-r\), il faut déterminer le coefficient \(\lambda\in\R\) tel que \(f_X(x)=2\lambda\,\pi r\) et
\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f_X(x)\d{x}=1.
\end{equation*}
On calcule
\begin{align*}
\int_{0}^{1-r}2\,\lambda\,\pi x\,\d{x}
=2\,\pi\,\lambda\int_{0}^{1-r}x\,\d{x}
=2\,\pi\,\lambda\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1-r}
=\pi\,\lambda\,(1-r)^2.
\end{align*}
Il faut donc que
\begin{equation*}
\lambda=\frac{1}{\pi(1-r)^2}
\end{equation*}
On a finalement pour fonction de densité
\begin{equation}
\boxed{f_X(x)=\frac{2x}{(1-r)^2}}
\end{equation}
Pour calculer la probabilité de couper la fève, il ne reste plus qu'à intégrer \(\prob(C\such X=x)\) par rapport à la loi \(f_X\) de densité de la v.a. \(X\) :
\begin{align*}
\prob(C)
&= \int_0^{1-r} P(C \mid X = x) f_X(x)\,\d{x}\\
&= \int_0^{1-r}
\left(
\indic{[0,d]}(x) +
\left(
\frac{p\,\arcsin(r/x)}{\pi}
\right)
\indic{[d,1-r]}(x)
\right)
\frac{2x}{(1-r)^2}\,\d{x}\\
&= {\color{olive}\int_0^{d} \frac{2x}{(1-r)^2}\,\d{x}} + {\color{steelblue}\int_d^{1-r} \frac{p \arcsin(r / x)}{\pi} \frac{2x}{(1-r)^2}\,\d{x}}
\end{align*}
Calculons ces deux intégrales séparement :
\begin{align*}
{\color{olive}\int_0^{d} \frac{2x}{(1-r)^2}\,\d{x}} &= \frac{2}{(1-r)^2} \int_0^{d} x\,\d{x} = \frac{d^2}{(1-r)^2}.
\end{align*}
Et
\begin{align*}
{\color{steelblue}\int_d^{1-r} \frac{p \arcsin(r / x)}{\pi} \frac{2x}{(1-r)^2}\,\d{x}} &= \frac{2p}{\pi(1-r)^2} \int_d^{1-r} x \arcsin(r/x)\,\d{x}
\end{align*}
On peut alors conclure que
\begin{equation*}
\boxed{\prob(C)= \frac{1}{(1-r)^2}
\left(
d^2 + \frac{2p}{\pi} \int_d^{1-r} x \arcsin(r/x)\,\d{x}
\right)}
\end{equation*}
L'intégrale ci-dessus n'admet pas facilement de forme explicite, il faut donc l'approximer.
Écrivez une fonction Python Integrale(f,a,b,n) qui approxime l'intégrale
\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f(x)\d{x}
\end{equation*}
en calculant la somme des surfaces des \(n\) rectangles de même largeur \(\d{x}:=\frac{b-a}{n}\) et de hauteur \(f(a+\d{x}(i+\frac{1}{2}))\) pour \(i\in\ab{0}{n-1}\).
L'adaptation en script
Python est quasi immédiate :
def Integrale(f,a,b,n):
aire = 0
dx = (b - a) / n
for i in range(n):
aire += dx * f(a + dx * (i + 0.5))
return aire