Mathématiques pour l'informatique

Si vous avez manqué la première séance du cours et par conséquent la distribution du document intitulé Memento-UE12-UE22, il faut le télécharger et le lire.

Avertissement

Ce cours a été rédigé et développé pour un navigateur supportant les principales normes en vigueur. En revanche, il n'est pas responsive design comme diraient les ingénieur·e·s pédagogiques. Les smartphones ne sont pas conçus pour lire un cours de mathématiques. Le lecteur est invité à télécharger un navigateur libre comme chromium ou firefox, avec lesquels ces pages ont été testées et va­li­dées.

Les termes introduits dans chaque nouveau chapitre sont distingués des autres par une police italique et une autre couleur. Ils sont récapitulés en tête de chapitre sous le sommaire et dirigent le lecteur à la position où ils/elles ont été int­ro­duit·e·s (voir ici même). Un terme ou un groupe de termes distingué de cette manière permet, en le survolant, d'afficher l'information associée et/ou d'ouvrir un hyperlien vers la partie du document où il a été introduit.

Pour faciliter la lecture, les preuves des théorèmes et les solutions des exercices sont repliées et se déplient en cliquant sur les boutons preuves et les solutions. On peut également déplier toutes les preuves ou toutes les solutions avec deux boutons dédiés en tête de chapitre.

Les chapitres contiennent des applications interactives censées aider le lecteur à comprendre un résultat en effectuant ses propres expérimentations. Pour cela, des permettent de modifier certains paramètres et sont ma­té­ria­li­sés par un cadre en trai­til­lés jaunes :

Vous avez eu les notes au contrôle intermédiaire et au contrôle de travaux pratiques respectivement (voir les modalités des contrôles \((\ref{eq:notefinale})\) plus bas). Quelle note entière minimale \(T:=\,\) devriez-vous obtenir au contrôle écrit terminal pour valider votre ue ?

NB. Les notes des différents contrôles sont entières.

Il suffit d'isoler \(T\) dans l'inégalité suivante : \[\frac{I+P}{4}+\frac{T}{2}\geq 10 \quad\text{soit}\quad T\geq 20-\frac{I+P}{2}.\] Autrement dit, puisque la note \(T\) est supposée entière : \[T:=\left\lceil 20-\frac{I+P}{2}\right\rceil\] où \(\lceil x\rceil\) désigne le plus petit entier supérieur ou égal au réel \(x\). Pour l'exemple proposé, \(T=\ \)?.

Les scripts javascript présents dans ces pages ne servent qu'à la mise en page des mathématiques avec le processeur MathJax et à l'exécution des pro­gram­mes qui permettent d'illustrer les différents concepts abordés.

Organisation des enseignements

Cet enseignement est constitué des 8 chapitres présentés dans la table ci-dessous. Les 4 premiers sont étudiés au premier semestre (ue12), les 4 derniers au second semestre (ue22) de la première année de la licence d'informatique. Chaque chapitre fait l'objet de

Il y a au total 48he par ue. Les liens vers les corrections des planches de travaux dirigés et des tra­vaux pra­ti­ques ne sont actifs qu'après la fin des séances correspondantes.

UE-12 : semestre 1
  1. Logique propositionnelle
  2. Ensembles, prédicats
  3. Calcul booléen
  4. Relations, applications
UE-22 : semestre 2
  1. Combinatoire
  2. Probabilités
  3. Groupes
  4. Arithmétique

Quelques démonstrations sont difficiles et demandent une certaine maturité pour être comp­ri­ses. Elle ne sont évidemment pas exigées en première année, mais permettent aux étudiants d'y re­ve­nir dans la suite de leur cursus.

Certains des exercices disséminés dans les chapitres sont intégrés dans les planches de travaux dirigés correspondantes. La plupart des démonstrations demandées dans les exercices ne sont que des ap­pli­ca­tions directes des définitions des objets concernés. Les exercices marqués par le symbole sont un peu plus difficiles et ceux marqués par le symbole le sont encore plus et cons­ti­tuent plutôt des petits problèmes.

Les sujets de travaux pratiques sont présentés à la fin des chapitres. S'ils n'ont pas pu être traités intégralement durant les séances, ils sont censés être achevés de manière autonome. Les questions comp­lé­men­tai­res de pro­gram­ma­tion qui sont proposées pour les plus rapide peuvent également être étudiées après les séances.

Les vidéos d'Eric Schrafstetter ci-dessous illustrent certaines notions étudiées dans ce cours :
  1. Les relations.
  2. Relations d’équivalence.
  3. Lois et structures.
  4. Exemple de groupe.

Prérequis

Le programme de mathématiques de la licence d'informatique peut difficilement être abordé par des étudiants qui ne sont pas titulaires d'un bac scientifique dans lequel ils ont choisi la spécialité mathématiques en première et en terminale, préférablement complétée par l'option maths expertes en terminale. Il faut garder à l'esprit que l'enseignement de l'informatique dans une ufr de Sciences et Techniques n'est pas de nature technologique, mais scientifique.

L'expérience montre que les étudiants qui n'ont pas d'appétence pour les mathématiques échouent, la lecture du premier chapitre de ce cours devrait lever certaines ambiguités et éviter quelques ma­len­ten­dus trop répandus, voire entretenus, concernant l'informatique.

Objectifs

Cet enseignement de première année couvre la partie algébrique du pro­gram­me de ma­thé­ma­ti­ques pour l'in­for­ma­ti­que. L'étude des éléments d'analyse est assurée dans une ue commune avec la li­cence de mathématiques au premier semestre. Seul le chapitre consacré aux probabilités est entre deux eaux, mais il est principalement circonscrit aux espaces discrets.

Ce cours aborde les éléments fondamentaux — mais pas pour autant triviaux — de l'algèbre en mettant l'accent sur les objets fournis par la théorie, le codage mathématique et la modélisation. Ces aspects ne sont parfois qu'effleurés dans les en­sei­gne­ments gé­né­raux de ma­théma­tiques à l'Université et sont in­con­tour­nab­les pour faire des études d'in­for­ma­ti­que, la très grande majorité des modèles et structures qui y sont utilisées sont de simples trans­po­si­tions de leurs homologues mathématiques. D'autre part, la modélisation prend une grande place dans cet apprentissage. En effet, le passage du concret à l'abstrait n'est pas toujours une priorité en mathématiques, les problèmes abordés sont déjà traduits dans le langage mathématique.

Les différents chapitres servent d'amorces à l'étude plus poussée des concepts introduits. Ils doivent permettre à l'étudiant d'aborder les en­sei­gne­ments spé­cia­li­sés cor­res­pon­dants et d'autres domaines qui s'appuient sur ces mêmes fon­de­ments.

Cet enseignement tente, dans la mesure du possible, d'aborder chaque nou­vel­le notion à travers l'étu­de d'un ou plusieurs problèmes concrets et toujours en liaison avec l'informatique. Il s'agit de justifier la pa­no­plie d'outils né­ces­sai­res à la résolution de ces problèmes et ainsi d'animer la structuration laconique des notions étudiées. Nous verrons, entre autres, comment déterminer que des robots sont dé­fec­tueux, comment fiabiliser l'information fournie par une boussole, comment s'assurer qu'un contrat ne puis­se pas être fal­si­fié, pourquoi on n'est pas nécessairement malade alors qu'un test fiable à 99,8% affirme qu'on l'est, comment ranger les pièces d'un casse-tête et comment communiquer de ma­nière secrète.

L'apprentissage du langage mathématique pour des études d'in­for­ma­ti­que s'ap­pa­ren­te à l'apprentissage du solfège pour pratiquer le jazz, c'est un passage obligé. Pour pousser la métaphore musicale, l'étude de problèmes concrets consiste à jouer de la musique au lieu de se contenter d'en étudier les codes.

Ce cours ayant une vocation pédagogique, certains sacrifices à la rigueur nous ont parus inévitables et sont parfaitement assumés. La tentation était grande de ne pas laisser dans l'ombre certains points délicats. Dans ces moments, nous avons réfréné nos pulsions d'investigation autant que pos­si­ble en nous contentant souvent de quelques remarques pour attirer l'attention du lecteur. Les exercices sont des jalons dans le cours plutôt que rassemblés en fin de chapitre. Il s'agit de s'assurer que l'on a bien saisi les notions et que l'on est capable de manipuler les objets et outils nouvellement introduits.

Un autre point distingue cet enseignement de ceux qui sont généralement pratiqués en ma­thé­ma­ti­ques, les travaux pratiques. La grande majorité des preuves abordées au collège, au lycée et en premier cycle à l'université sont constructives, quand il ne s'agit pas purement et simplement d'al­go­ri­thmes (multiplier des nombres, calculer les zéros d'un polynôme, dériver une fonction, calculer l'in­ter­sec­tion de deux droites, etc.). Les comprendre est une chose, mais les programmer demande une assimilation bien plus profonde des concepts étudiés. Il s'agit en substance de concevoir des ex­pli­ca­tions destinées à des ordinateurs, assez peu réputés pour leur ouverture d'esprit et leur ca­pa­ci­té à combler eux-mêmes les innombrables trous que nous laissons dans les démonstrations que nous destinons aux êtres humains. Le volume horaire par étudiant que nous avons attribué aux tp représente le 1/4 des enseignements, cela donne une idée de l'importance que nous ac­cor­dons à la pratique.

Sans ouvrir un débat sur la nécessité des incessantes réformes de l'Université et leurs conséquences, il y a consensus pour affirmer que les volumes horaires sont aujourd'hui très insuffisants pour former correctement un étudiant à la Science. Néanmoins, les centaines d'heures qui ont été dégagées* au sens propre com­me au figuré peu­vent être mises à profit pour lire et étudier en dehors du cadre universitaire. C'était déjà une condition nécessaire quand les volumes horaires étaient bien plus substantiels. C'est pré­ci­sé­ment l'objectif visé par ce cours en ligne. Nous invitons avec insistance l'étudiant à lire et étudier chaque chapitre avant d'assister au cours. Ce travail préalable permet de laisser une grande place à l'interaction entre les étudiants et l'enseignant pour apporter des réponses aux points qui sont restés obscurs.

Nous espérons également qu'à travers ce cours, l'étudiant entreverra les aspects ludiques des ma­thé­ma­ti­ques. Toutes ces notions théoriques ne sont pas une fin en soi, elles fournissent les moyens de résoudre des problèmes de manière effective. En résumé, la théorie c'est pratique* Jacques Wolfmann, ma­thé­ma­ti­cien fran­çais spé­cia­lis­te de la théo­rie des co­des (1938-2018†)..

Contrôle des connaissances

Modalités

Évaluation.

L'évaluation des connaissances en première année se fait suivant les modalités suivantes (les durées des épreuves sont indicatives, elles peuvent varier suivant le contexte) :

  1. Un contrôle intermédiaire d'une durée de 1h00 en amphi contenant des qcm et des questions rédactionnelles.
  2. Un contrôle de travaux pratiques d'une durée de 1h30 en salle de tp.
  3. Un contrôle terminal (première session) sous la forme d'une épreuve écrite d'une durése de 2h00 contenant des qcm, une ou plusieurs questions de programmation Python et un ou plusieurs exercices à rédiger.
  4. Un contrôle terminal (deuxième session) dont les modalités sont identiques à celles de la première session pour les étudiants qui n'ont pas validé l'ue.

Notation.

Si l'on désigne par \(\color{#88F}I\) la note du contrôle intermédiaire, \(\color{#F44}P\) la note de travaux pratiques et \(\color{#FF0}T\) celle du con­trô­le terminal, alors la note finale \(F\) à cet ue est calculée à partir de la formule suivante :

\begin{align} \label{eq:notefinale} F&:=\frac{{\color{#88F}I}+ {\color{#F44}P}}{4}+\frac{{\color{#4F4}T}}{2}. \end{align}

Absence.

L'absence au contrôle intermédaire ou de travaux pratiques est sanctionnée par la note \(0\). Une épreuve de substitution peut être organisée à l'appréciation de l'enseignant et au cas par cas si dans les 5 jours ouvrés à compter du 1er jour d'absence :

  1. L'absence a été dûment justifiée à la scolarité.
  2. L'étudiant en a fait la demande à la scolarité.
Dans l'éventualité d'une telle épreuve de substitution, les modalités sont fixées par l'enseignant et peuvent prendre une autre forme que l'épreuve qu'elle remplace.

Annales des épreuves

UE12 et UE22

  1. 2024-2025 : UE12 Session 1 - Session 2 | UE22 Session 1 - Session 2

UE23

Les épreuves écrites et les épreuves de travaux pratiques de l'année scolaire 2019-2020 ont été annulées et remplacées par des épreuves en ligne lors du confinement pendant l'épidémie de covid19. L'évaluation s'est faite sous le régime du contrôle continu intégral les années scolaires 2022-2023 et 2023-2024, il n'y avait pas de seconde session.

  1. 2023-2024 : Session unique
  2. 2022-2023 : Session unique
  3. 2021-2022 : Session 1 - Session 2
  4. 2020-2021 : Session 1 - Session 2
  5. 2018-2019 : Session 1 - Session 2

Bibliographie

Ce cours est l'adaptation de notes personnelles inspirées par de nom­breux ou­vra­ges, qu'il est impossible de tous citer, mais dont les plus remarquables sont :